一元二次不等式的解法
教学目标
(1)掌握一元二次不等式的解法;
(2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组;
(3)了解简单的分式不等式的解法;
(4)能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式,理解它们三者之间的内在联系;
(5)能够进行较简单的分类讨论,借助于数轴的直观,求解简单的含字母的一元二次不等式;
(6)通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结合的数学思想;
(7)通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互转化的,树立辨证的世界观.
教学重点:一元二次不等式的解法;
教学难点:弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.
教与学过程设计
第一课时
Ⅰ.设置情境
问题:
①解方程
②作函数 的图像
③解不等式
【置疑】在解决上述三问题的基础上分析,一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?
【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根,不等式 的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。
通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用
在这里我们发现一元一次方程,一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图像上!)我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集,类似地,我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢?
Ⅱ.探索与研究
我们现在就结合不等式 的求解来试一试。(师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出 的图像,然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。)
【答】方程 的解集为
不等式 的解集为
【置疑】哪位同学还能写出 的解法?(请一程度差的同学回答)
【答】不等式 的解集为
我们通过二次函数 的图像,不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第(5)小题 的解集,还求出了 的解集,可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。
下面我们再对一般的一元二次不等式 与 来进行讨论。为简便起见,暂只考虑 的情形。请同学们思考下列问题:
如果相应的一元二次方程 分别有两实根、惟一实根,无实根的话,其对应的二次函数 的图像与x轴的位置关系如何?(提问程度较好的学生)
【答】二次函数 的图像开口向上且分别与x轴交于两点,一点及无交点。
现在请同学们观察表中的二次函数图,并写出相应一元二次不等式的解集。(通过多媒体或其他载体给出以下表格)
【答】 的解集依次是
的解集依次是
它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数 的图像。
课本第19页上的例1.例2.例3.它们均是求解二次项系数 的一元二次不等式,却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练,却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。
(教师巡视,重点关注程度稍差的同学。)
Ⅲ.演练反馈
1.解下列不等式:
(1) (2)
(3) (4)
2.若代数式 的值恒取非负实数,则实数x的取值范围是 。
3.解不等式
(1) (2)
参考答案:
1.(1) ;(2) ;(3) ;(4)R
2.
3.(1)
(2)当 或 时, ,当 时,
当 或 时, 。
Ⅳ.总结提炼
这节课我们学习了二次项系数 的一元二次不等式的解法,其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点,再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。
(五)、课时作业
(p20.练习等3、4两题)
(六)、板书设计
第二课时
Ⅰ.设置情境
(通过讲评上一节课课后作业中出现的问题,复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。)
上节课我们只讨论了二次项系数 的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问,那么二次项系数 的一元二次不等式如何来求解?咱们班上有谁能解答这个疑问呢?
Ⅱ.探索研究
(学生议论纷纷.有的说仍然利用二次函数的图像,有的说将二次项的系数变为正数后再求解,…….教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解.)
生甲:只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线,再根据可得的图像便可求得二次项系数 的一元二次不等式的解集.
生乙:我觉得先在不等式两边同乘以-1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了.
师:首先,这两种见解都是合乎逻辑和可行的.不过按前一见解来操作的话,同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论.这不但加重了记忆负担,而且两表中的结论容易搞混导致错误.而按后一种见解来操作时则不存在这个问题,请同学们阅读第19页例4.
(待学生阅读完毕,教师再简要讲解一遍.)
[知识运用与解题研究]
由此例可知,对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为 的一元二次不等式来求解的,因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求
解任意一个一元二次不等式了,请同学们求解以下两不等式.(调两位程度中等的学生演板)
(1) (2)
(分别为课本p21习题1.5中1大题(2)、(4)两小题.教师讲评两位同学的解答,注意纠正表述方面存在的问题.)
训练二 可化为一元一次不等式组来求解的不等式.
目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用,但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦.故在求解形如 (或 )的一元二次不等式时则根据(有理数)乘(除)运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解.现在清同学们阅读课本p20上关于不等式 求解的内容并思考:原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集?(待学生阅读完毕,请一程度较好,表达能力较强的学生回答该问题.)
【答】因为满足不等式组 或 的x都能使原不等式 成立,且反过来也是对的,故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集.
这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系,故它们必相等,现在请同学们求解以下各不等式.(调三位程度各异的学生演板.教师巡视,重点关注程度较差的学生).
(1) [p20练习中第1大题]
(2) [p20练习中第1大题]
(3) [p20练习中第2大题]
(老师扼要讲评三位同学的解答.尤其要注意纠正表述方面存在的问题.然后讲解p21例5).
例5 解不等式
因为(有理数)积与商运算的“符号法则”是一致的,故求解此类不等式时,也可像求解 (或 )之类的不等式一样,将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。
解:(略)
现在请同学们完成课本p21练习中第3、4两大题。
(等学生完成后教师给出答案,如有学生对不上答案,由其本人追查原因,自行纠正。)
[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。
(通过多媒体或其他载体给出下列各题)
1.不等式 与 的解集相同此说法对吗?为什么[补充]
2.解下列不等式:
(1) [课本p22第8大题(2)小题]
(2) [补充]
(3) [课本p43第4大题(1)小题]
(4) [课本p43第5大题(1)小题]
(5) [补充]
(每题均先由学生说出解题思路,教师扼要板书求解过程)
参考答案:
1.不对。同 时前者无意义而后者却能成立,所以它们的解集是不同的。
2.(1)
(2)原不等式可化为: ,即
解集为 。
(3)原不等式可化为
解集为
(4)原不等式可化为 或
解集为
(5)原不等式可化为: 或 解集为
Ⅲ.总结提炼
这节课我们重点讲解了利用(有理数)乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是,这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的,同学们应掌握好这一方法。
(五)布置作业
(p22.2(2)、(4);4;5;6。)
(六)板书设计
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.理解一元一次不等式组解集的概念,会利用数轴较简单的一元一次不等式组.
2.掌握一元一次不等式组解集的几种情况.
(二)能力训练点
通过利用数轴解不等式组,培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力.
(三)德育渗透点
通过不等式组解集的求法,培养学生的观察与分析能力,渗透辩证唯物主义的观点.
(四)美育渗透点
用数轴求不等式组的解集,渗透用数学图形解题的直观性、简捷性的数学美.
二、学法引导
1.教学方法:引导发现法、观察法、归纳总结法.
2.学生学法:学会利用数轴将两个不等式的解集表示出来,并观察出其公共部分,再小结出不等式组的解集.
三、重点·难点·疑点及解决办法
(一)重点
理解一元一次不等式组解集的概念,会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况.
(二)难点
正确理解一元一次不等式组解集的含义.
(三)疑点
弄清一元一次不等式解集和不等式组的解集的关系,以及对四种不等式组解集的一般形式的理解.
(四)解决办法
加强对不等式组解集含义的理解,并熟练掌握用数轴表示不等式解集,利用观察法、归纳法即可掌握求不等式组解集的办法.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
直尺、铅笔、投影仪或电脑、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师设计提问有关一元一次不等式的定义及其解集的概念,并复习用数轴表示一元一次不等式的解集的方法.
2.教示范一元一次不等式组解集的四种常规图形的表示方法,并引导学生理解记忆它们.
3.通过反复的师生共练,从实践中归纳小结出不等式组解集的规律.
七、教学步骤
凉山民族中学 李承志
一、 教材简析
1、地位和价值
一元二次不等式解法是高中数学新教材第一册(上)第一章第5节的内容。在此之前,学生在初中已学习了一元一次不等式,一元一次不等式组,一元二次方程,二次函数,绝对值不等式(高中),这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。一元二次不等式解法是解不等式的基础和核心,它在高中代数中起着广泛应用的工具作用,蕴藏着“数与形结合”的重要思想方法,它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的重要部分,是高考综合题的热点。
2、教材结构简介
教材首先以一个一次函数图象的应用解一元一次不等式,引出图象法,然后给出一个二次函数,通过具体画图象,提出问题。再一般地给出了二次函数图象解二次不等式的结论。课本精选了四个解不等式的例题,并配有相应的练习和习题。它的后一小节为解可转化为一元二次不等式的分式不等式。
二、 教育教学观
1、 学生为主体,重学生参与学习活动。
2、 重过程。按照认知规律及学生认知特点,由浅入深,由表及里,设计一系列教学活动过程。体现由“实践……观察……归纳 ……猜想…… 结论…… 验证应用”的循环往复的认知过程。
3、 重能力与态度的培养,在活动中培养学生自主、交流合作、探究、发现的能力。重科学严谨的个性品质。重参与学习的兴趣和体验。
4、 重指导点拨。在学生自主探究、实践的基础上,相机启发,恰当点拨,促进学生知识由感性向理性提升,由具体到概括抽象,形成师生间的有效互动。
三、 教学目标
基于上述认识,及不等式的基本知识,同时学生在初中已学过二次函数,考虑到学生已有的认知结构心理特征,制订如下教学目标:
1、 知识目标:一元二次方程,一元二次不等式及二次函数间的联系,及利用二次函数的图象求解一元二次不等式。
2、 能力目标:数形结合的思想(应用二次函数图象解不等式)
3、 情感态度目标:通过问题解决,培养学生自主参与学习,以及严谨求实的态度。
四、 教与学重点、难点
1、重点:用图象解一元二次不等式。
2、难点:围绕二次函数图象、性质这一主线,解决三个“二次”的联系和应用。
五、 教法与学法
1、学情分析及学法:函数与图象应用是初中生数学的薄弱之处,同时刚进入高中的学生,对高中学习还很不适应,需要加强主动学习的指导。基于此,在学生初中知识经验的基础上,以旧探新;以一系列问题,促进主体的学习活动(如画图象、读图等),建构知识;以问题情景激励学生参与,在恰当时机进行点拨启发,练、导结合,讲练结合;通过学生自己做数学,教师启发指导,以及学生领悟,实现学生对知识的再创造和主动建构;具体通过教材中的问题及设计的问题情景,给予学生活动的空间,通过这些问题(“脚手架”)的解决,使学生逐步攀升,达到知识与能力的目标。
2、教法:数学教学是数学教与学活动过程的教学,学生是在探究与发现中建构知识,发展能力的,因而确定以“问题解决”为教法。实现学生在教师指导下的发现探索。同时所学内容适宜用“计算机高中数学问题处理系统”辅助教学。
六、教学手段及工具:
多媒体教学手段,高中数学问题处理系统。
七、教学设计及教学过程
1、复习设问,引入新课
高中数学新教材第一册(上)《一元二次不等式解法》(第一课时)说课稿.rar
一、教学内容解析
一元二次不等式的解法是高中数学最重要的内容之一,在高中数学中起着广泛的应用工具作用,蕴藏着重要的数形结合思想,是代数、三角、解析几何交汇综合的部分,在高中数学中具有举足轻重的地位。
教科书中对一元二次不等式的解法,没有介绍较繁琐的纯代数方法,而是采取简洁明了的数形结合的方法,从具体到抽象,从特殊到一般,用二次函数的图象来研究一元二次不等式的解法。教学中,利用几何画板的动态演示功能,引导学生结合二次函数的图象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函数“三个二次”间的联系,归纳总结出一元二次不等式的求解过程。通过对一元二次不等式解集的探究过程,渗透函数与方程、数形结合、分类讨论等重要的数学思想。
一元二次不等式的解法是程序性较强的内容,探究中应注意对“特例”的处理,让学生注意对“特殊情况”的处理,才能让学习的内容更加完整。
因此,本节课教学的重点是围绕一元二次不等式的解法,通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,突出体现数形结合的思想。
二、教学目标解析
1. 通过对一元二次不等式解法的探究,让学生了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
2. 掌握一元二次不等式的求解步骤,尤其是对“特例”的处理。
3. 通过图象解法渗透数形结合、分类化归等重要的数学思想,培养学生动手能力,观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力,培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。
三、学生学情分析
学生已有的认知基础是,学生已经学习了二次函数、一元二次方程、函数的零点等有关知识,为本节课的学习打下了基础。
学生根据具体的二次函数的图象得对应一元二次不等式的解集时问题不大,学生可能存在的困难:(1)二次函数是初中学习的难点,许多学生对二次函数的知识掌握欠缺,对本节课的顺利开展有一定的影响;(2)从特殊的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解,学生全面考虑不同情况下的解集有一定的困难。教学中,(1)教师可提前让学生复习二次函数的有关知识点,为本节课的学习扫清障碍。(2)利用几何画板的动态演示功能,通过变换二次函数图象,引导学生在变化中寻找不变的规律,从而得出影响一元二次不等式解集的因素,确定分类的标准,全面考虑一元二次不等式解的情况。
因此,本节课教学的难点是探究一元二次不等式 的解集。
四、教学策略分析
依据本节课的教学内容,采用启发引导式教学。教学中启发学生一元二次不等式的解法可以类比“一元一次不等式与一次函数、一元一次方程三者间的关系”,利用二次函数的图象进行求解。从特殊到一般,从具体到抽象,通过几何画板的动态演示,引导学生观察、猜想、主动发现一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,得出一元二次不等式的求解步骤。教学中让学生通过动手实践、自主探索、合作学习完成学习过程,从动态中观察、探索归纳知识。
为了有效实现教学目标,教学中通过几何画板动态演示函数图象上的点在移动时,随着横坐标的变化,纵坐标的取值变化情况,更直观地向学生展示 或 时对应的 的取值范围。利用图象的直观性,观察二次函数图象的变化对一元二次不等式解集的影响,恰当确定分类的标准,有效解决教学中的难点。
五、教学过程设计
新课导入:刚才我们回顾了初中学过的一元一次方程、一元一次不等式、一次函数三者间的联系,利用这种联系可以快速准确地求出一元一次不等式的解集。那么对于一元二次不等式能否用类似的方法求解?我们以上网计时收费问题中得到的一元二次不等式 为例进行探究。
问题一:如何求一元二次不等式 的解集?
设计意图:通过具体的例子,观察三个二次的关系,直观理解一元二次不等式的求法,由特殊到一般。
引导一:画出二次函数 的草图。
引导二:观察一元二次方程 、一元二次不等式 、一元二次函数 三者间有何联系?
引导三:要写出一元二次不等式 的解集,需要确定哪些量?
师生活动:教师引导学生思考三个二次的关系,首先画出函数 的图象。让学生通过观察图象,发现“一元二次方程 的两个根是对应二次函数 的零点”的结论,一元二次不等式 的解即是二次函数 的图象上函数值 时对应的 的取值。利用几何画板的动态演示功能,在函数 的图象上任取一点 ,观察当点 在抛物线上移动时,随着 的横坐标的变化, 的纵坐标有什么变化,借用动态演示帮助看图有困难的同学。
问题二:探究一元二次不等式 的解集。
设计意图:进一步加深学生对“三个二次”间关系的理解,通过二次函数图象的动态变化,寻找出恰当的分类标准,写出二次不等式的解集,从具体到抽象。
引导一:要得到一个一元二次不等式的解集,关键应考虑哪些因素?
师生活动:教师利用几何画板的动态演示功能,改变二次函数 中的常数 的值,让学生观察随着函数图象的变化,不等式的解的变化情况,在变化中寻找不变的规律,从而得出确定一元二次不等式解集的两个因素:(1)对应的一元二次方程的根的情况;(2)对应的二次函数的开口方向。
引导二:应如何分类讨论一元二次不等式的解集?
师生活动:在引导、分析的基础上,由学生归纳得出分类的两个标准:(1)分 和 ;(2)分 , , 。并让学生完成课本77页的表,写出 时一元二次方程根和一元二次不等式的解集。
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