教学目标
1.使学生理解正数与负数的概念,并会判断一个给定的数是正数还是负数;
2. 会初步应用正负数表示具有相反意义的量;
3.使学生初步了解有理数的意义,并能将给出的有理数进行分类;
4.培养学生逐步树立分类讨论的思想;
5. 通过本节课的教学,渗透对立统一的辩证思想。
教学建议
一、重点、难点分析
本课的重点是了解正数与负数是由实际需要产生的以及有理数包括哪些数。难点是学习负数的必要性及有理数的分类。关键是要能准确地举出具有相反意义的量的典型例子以及要明确有理数分类的标准。
正、负数的引入,有各种不同的方法。教材是由学生熟知的两个实例:温度与海拔高度引入的。比0℃高5摄氏度记作5℃,比0 ℃低5摄氏度,记作-5℃;比海平面高8848米,记作8848米,比海平面低155米记作-155米。由这两个实例很自然地,把大于0的数叫做正数,把加“-”号的数叫做负数;0既不是正数也不是负数,是一个中性数,表示度量的“基准”。这样引入正、负数,不仅有利于学生正确使用正、负数表示具有相反意义的量,而且还将帮助学生理解有理数的大小性质。把负数理解为小于0的数。教材中,没有出现“具有相反意义的量”的概念。这是有意回避或淡化这个概念。目的是,从正、负数引入一开始就能较深刻的揭示正、负数和零的性质,帮助学生正确理解正、负数的概念。
关于有理数的分类要明确的是:分类标准不同,分类结果也不同,分类结果应是不重不漏,即每一个数必须属于某一类,又不能同时属于不同的两类。
二、教法建议
这节课是在小学里学过的数的基础上,从表示具有相反意义的量引进负数的.从内容上讲,负数比非负数要抽象、难理解.因此在教学方法和教学语言的选择上,尽可能注意中小学的衔接,既不违反科学性,又符合可接受性原则。例如,在讲解有理数的概念时,让学生清楚地认识有理数与算术数的根本区别,有理数是由两部分组成:符号部分和数字部分(即算术数).这样,在理解算术数和负数的基础上,对有理数的概念的理解就简便多了.
为了使学生掌握必要的数学思想和方法,在明确有理数的分类时,可以有意识地渗透分类讨论的思想方法,理解分类的标准、分类的结果,以及它们的相互联系。通过正数、负数都统一于有理数,可以将对立统一的辩证思想的逐步树立渗透到日常教学中。
三、正数与负数概念的理解
1﹒对于正数和负数的概念,不能简单的理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。
2﹒引入负数后,数的范围扩大为有理数,奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数,整数也可以分为奇数和偶数两类,能被2整除的数是偶数,如…-6,-4,-2,0,2,4,6…,不能被2整除的数是奇数,如…-5,-4,-2,1,3,5…
3﹒到现在为止,我们学过的数细分有五类:正整数、正分数、0、负整数、负分数,但研究问题时,通常把有理数分为三类:正数、0、负数,进行讨论。
4﹒通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数;负整数和0统称为非正整数。
四、有理数的分类
整数和分数统称为有理数。1)正整数、零、负整数统称为整数;正分数、负分数统称为分数。
2)整数也可以看作分母为1的分数,但为了研究方便,本章中分数是指不包括整数的分数。
3)注意概念中所用“统称”二字,它与说“整数和分数是有理数”的意思不大一样。前者回避了分数是否包括整数的问题,即使把整数包括在分数范围内,说“统称”还是不错,而用后一种说法就欠妥了。
4)分数和小数的区别:
分数(既约分数)都可表示成小数,但不是所有的小数都能表示成分数的。
5)到目前为止,所学过的数(除π外)都是有理数。
正数和负数(1)
教学目标 1, 整理前两个学段学过的整数、分数(包括小数)的知识,掌握正数和负数的概念;
2, 能区分两种不同意义的量,会用符号表示正数和负数;
3, 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要,激发学生学习数学的兴趣。
教学难点 正确区分两种不同意义的量。
知识重点 两种相反意义的量
教学过程(师生活动) 设计理念
设置情境
引入课题 上课开始时,教师应通过具体的例子,简要说明在前两个学段我们已经学过的数,并由此请学生思考:生
活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗?下面的例子
仅供参考.
师:今天我们已经是七年级的学生了,我是你们的数学老师.下面我先向你们做一下自我介绍,我的名字是XX,身高1.73米,体重58.5千克,今年40岁.我们的班级是七(13)班,有60个同学,其中男同学有22个,占全班总人数的37%…
问题1:老师刚才的介绍中出现了几个数?分别是什么?你能将这些数按以前学过的数的分类方法进行分类吗?
学生活动:思考,交流
师:以前学过的数,实际上主要有两大类,分别是整数和分数(包括小数).
问题2:在生活中,仅有整数和分数够用了吗?
请同学们看书(观察本节前面的几幅图中用到了什么数,让学生感受引入负数的必要性)并思考讨论,然后进行交流。
(也可以出示气象预报中的气温图,地图中表示地形高低地形图,工资卡中存取钱的记录页面等)
学生交流后,教师归纳:以前学过的数已经不够用了,有时候需要一种前面带有“-”的新数。 先回顾小学里学过的数的类型,归纳出我们已经学了整数和分数,然后,举一些实际生活*有相反意义的量,说明为了表示相反意义的量,我们需要引入负数,这样做强调了数学的严
密性,但对于学生来说,更多
地感到了数学的枯燥乏味为了既复习小学里学过的数,又能激发学生的学习兴
趣,所以创设如下的问题情境,以尽量贴近学生的实际.
这个问题能激发学生探究的欲望,学生自己看书学习是培养学生自主学习的重要途径,都应予以重视。
以上的情境和实例使学生体会生活中处处有数学,通过实例,使学生获取大量的感性材料,为正确建立相反意义的量奠定基础。
分析问题
探究新知 问题3:前面带有“一”号的新数我们应怎样命名它呢?为什么要引人负数呢?通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢?
这些问题都必须要求学生理解.
教师可以用多媒体出示这些问题,让学生带着这些问题看书自学,然后师生交流.
这阶段主要是让学生学会正数和负数的表示.
强调:用正,负数表示实际问题中具有相反意义的量,而相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义相反,如向东与向西,收人与支出;二是它们都是数量,而且是同类的量. 这些问题是这节课的主要知识,教师要清楚地向学生说明,并且要注意语言的准确与规范,要舍得花时间让学充分发表想法。
举一反三思维拓展 经过上面的讨论交流,学生对为什么要引人负数,对怎样用正数和负数表示两种相反意义的量有了初步的理解,教师可以要求学生举出实际生活中类似的例子,以加深对正数和负数概念的理解,并开拓思维.
问题4:请同学们举出用正数和负数表示的例子.
问题5:你是怎样理解“正整数”“负整数,,’’正分数”和“负分数”的呢?请举例说明.
能否举出例子是学生对知识掌握程度的体现,也能进一步帮助学生理解引负数的必要性
课堂练习 教科书第5页练习
小结与作业
课堂小结 围绕下面两点,以师生共同交流的方式进行:
1, 0由于实际问题中存在着相反意义的量,所以要引人负数,这样数的范围就扩大了;
2,正数就是以前学过的0以外的数(或在其前面加“+”),负数就是在以前学过的0以外的数前面加“-”。
本课作业 教科书第7页习题1.1 第1,2,4,5(第3题作为下节课的思考题。
作业可设必做题和选 做题,体现要求的层次性,以满足不同学生的需要
本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)
密切联系生活实际,创设学习情境.本课是有理数的第一节课时.引人负数是数的范围的一次重要扩充,学生头脑中关于数的结构要做重大调整(其实是一次知识的顺应过程),而负数相对于以前的数,对学生来说显得更抽象,因此,这个概念并不是一下就能建立的.为了接受这个新的数,就必须对原有的数的结构进行整理,引人币的举例就是这个目的.
负数的产生主要是因为原有的数不够用了(不能正确简洁地表示数量),书本的例子
或图片中出现的负数就是让学生去感受和体验这一点.使学生接受生活生产实际中确实
存在着两种相反意义的量是本课的教学难点,所以在教学中可以多举几个这方面的例
子,并且所举的例子又应该符合学生的年龄和思维特点。当学生接受了这个事实后,引入负数(为了区分这两种相反意义的量)就是顺理成章的事了.
这个教学设计突出了数学与实际生活的紧密联系,使学生体会到数学的应用价值,
体现了学生自主学习、合作交流的教学理念,书本中的图片和例子都是生活生产中常见
的事实,学生容易接受,所以应该让学生自己看书、学习,并且鼓励学生讨论交流,教师作适当引导就可以了。
课题: 1.1 正数和负数(2)
教学目标 1, 通过对数“零”的意义的探讨,进一步理解正数和负数的概念;
2, 利用正负数正确表示相反意义的量(规定了指定方向变化的量)
3, 进一步体验正负数在生产生活实际中的广泛应用,提高解决实际问题的能力,激发学习数学的兴趣。
教学难点 深化对正负数概念的理解
知识重点 正确理解和表示向指定方向变化的量
教学过程(师生活动) 设计理念
知识回顾与深化 回顾:上一节课我们知道了在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分这两种量,我们用正数表示其中一种意义的量,那么另一种意义的量就用负数来表示.这就是说:数的范围扩大了(数有正数和负数之分).那么,有没有一种既不是正数又不是负数的数呢?
问题1:有没有一种既不是正数又不是负数的数呢?
学生思考并讨论.
(数0既不是正数又不是负数,是正数和负数的分
界,是基准.这个道理学生并不容易理解,可视学生的讨论情况作些启发和引导,下面的例子供参考)
例如:在温度的表示中,零上温度和零下温度是两种不同意义的量,通常规定零上温度用正数来表示,零下温度用负数来表示。那么某一天某地的温度是
零上7℃,最低温度是零下5℃时,就应该表示为+7℃
和-5℃,这里+7℃和-5℃就分别称为正数和负数 .
那么当温度是零度时,我们应该怎样表示呢?(表示为0℃),它是正数还是负数呢?由于零度既不是零上温度也不是零下温度,所以,0既不是正数也不是负数
问题2:引入负数后,数按照“两种相反意义的量”来分,可以分成几类? “数0耽不是正数,也不是负数”也应看作是负数定义的一部分.在引入
负数后,0除了表示一个也没有以外,还是正数和负数的分界.了解。的这一层意义,也有助于对正负数的理解;且对数的顺利扩张和有理毅概念的建立都有帮助。
所举的例子,要考虑学生的可接受性.“数0既不是正数,也不是负数”应从相反意义的1这个角度来说明.这个问题只要初步认识即
可,不必深究.
分析问题
解决问题 问题3:教科书第6页例题
说明:这是一个用正负数描述向指定方向变化情况的例子, 通常向指定方向变化用正数表示;向指定方向的相反方向变化用负数表示。这种描述在实际生活中有广泛的应用,应予以重视。教学中,应让学生体验“增长”和“减少”是两种相反意义的量,要求写出“体重的增长值”和“进出口额的增长率”,就暗示着用正数来表示增长的量。
归纳:在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义(教科书第6页).
类似的例子很多,如:
水位上升-3m,实际表示什么意思呢?
收人增加-10%,实际表示什么意思呢?
等等。
可视教学中的实际情况进行补充.
这种用正负数描述向指定方向变化情况的例子,在实际生活中有广泛的应用,按题意找准哪种
意义的量应该用正数表示是解题的关健.这种描述具有相反数的影子,例如第(1)题中小明的体重可说成是减少-2kg,但现在
不必向学生提出.
巩固练习 教科书第6页练习
阅读思考
教科书第8页 阅读与思考是正负数应用的很好例子,要花时间让学生讨论交流
小结与作业
课堂小结 以问题的形式,要求学生思考交流:
1,引人负数后,你是怎样认识数0的,数0的意义有哪些变化?
2,怎样用正负数表示具有相反意义的量?
(用正数表示其中一种意义的量,另一种量用负数表示;特别地,在用正负数表示向指定方向变化的量时,通常把向指定方向变化的量规定为正数,而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数.)
本课作业 1, 必做题:教科书第7页习题1.1第3,6,7,8题
2, 选做题:教师自行安排
本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)
1,本课主要目的是加深对正负数概念的理解和用正负数表示实际生产生活中的向指
定方向变化的量。
2,“数0既不是正数,也不是负数,’(要从0不属于两种相反意义的量中的任何一种上来理解)也应看作是负数定义的一部分.在引人负数后,除了表示一个也没有以外,还是正数和负数的分界。了解0的这一层意义,也有助于对正负数的理解,且对数的顺利扩张和有理数概念的建立都有帮助.由于上节课的重点是建立两种相反意义量的概念,考虑到学生的可接受性,所以作为知识的回顾和深化而放到本课.
3,教科书的例子是用正负数表示(向指定方向变化的)量的实际应用,用这种方式描述的例子很多,要尽量使学生理解.
4,本设计体现了学生自主学习、交流讨论的教学理念,教学中要让学生体验数学知识在实际中的合理应用,在体验中感悟和深化知识.通过实际例子的学习激发学生学习数学的兴趣.
正数和负数(1)
教学目标 1, 整理前两个学段学过的整数、分数(包括小数)的知识,掌握正数和负数的概念;
2, 能区分两种不同意义的量,会用符号表示正数和负数;
3, 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要,激发学生学习数学的兴趣。
教学难点 正确区分两种不同意义的量。
知识重点 两种相反意义的量
教学过程(师生活动) 设计理念
设置情境
引入课题 上课开始时,教师应通过具体的例子,简要说明在前两个学段我们已经学过的数,并由此请学生思考:生
活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗?下面的例子
仅供参考.
师:今天我们已经是七年级的学生了,我是你们的数学老师.下面我先向你们做一下自我介绍,我的名字是XX,身高1.73米,体重58.5千克,今年40岁.我们的班级是七(13)班,有60个同学,其中男同学有22个,占全班总人数的37%…
问题1:老师刚才的介绍中出现了几个数?分别是什么?你能将这些数按以前学过的数的分类方法进行分类吗?
学生活动:思考,交流
师:以前学过的数,实际上主要有两大类,分别是整数和分数(包括小数).
问题2:在生活中,仅有整数和分数够用了吗?
请同学们看书(观察本节前面的几幅图中用到了什么数,让学生感受引入负数的必要性)并思考讨论,然后进行交流。
(也可以出示气象预报中的气温图,地图中表示地形高低地形图,工资卡中存取钱的记录页面等)
学生交流后,教师归纳:以前学过的数已经不够用了,有时候需要一种前面带有“-”的新数。 先回顾小学里学过的数的类型,归纳出我们已经学了整数和分数,然后,举一些实际生活*有相反意义的量,说明为了表示相反意义的量,我们需要引入负数,这样做强调了数学的严
密性,但对于学生来说,更多
地感到了数学的枯燥乏味为了既复习小学里学过的数,又能激发学生的学习兴
趣,所以创设如下的问题情境,以尽量贴近学生的实际.
这个问题能激发学生探究的欲望,学生自己看书学习是培养学生自主学习的重要途径,都应予以重视。
以上的情境和实例使学生体会生活中处处有数学,通过实例,使学生获取大量的感性材料,为正确建立相反意义的量奠定基础。
分析问题
探究新知 问题3:前面带有“一”号的新数我们应怎样命名它呢?为什么要引人负数呢?通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢?
这些问题都必须要求学生理解.
教师可以用多媒体出示这些问题,让学生带着这些问题看书自学,然后师生交流.
这阶段主要是让学生学会正数和负数的表示.
强调:用正,负数表示实际问题中具有相反意义的量,而相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义相反,如向东与向西,收人与支出;二是它们都是数量,而且是同类的量. 这些问题是这节课的主要知识,教师要清楚地向学生说明,并且要注意语言的准确与规范,要舍得花时间让学充分发表想法。
举一反三思维拓展 经过上面的讨论交流,学生对为什么要引人负数,对怎样用正数和负数表示两种相反意义的量有了初步的理解,教师可以要求学生举出实际生活中类似的例子,以加深对正数和负数概念的理解,并开拓思维.
问题4:请同学们举出用正数和负数表示的例子.
问题5:你是怎样理解“正整数”“负整数,,’’正分数”和“负分数”的呢?请举例说明.
能否举出例子是学生对知识掌握程度的体现,也能进一步帮助学生理解引负数的必要性
课堂练习 教科书第5页练习
小结与作业
课堂小结 围绕下面两点,以师生共同交流的方式进行:
1, 0由于实际问题中存在着相反意义的量,所以要引人负数,这样数的范围就扩大了;
2,正数就是以前学过的0以外的数(或在其前面加“+”),负数就是在以前学过的0以外的数前面加“-”。
本课作业 教科书第7页习题1.1 第1,2,4,5(第3题作为下节课的思考题。
作业可设必做题和选 做题,体现要求的层次性,以满足不同学生的需要
本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)
密切联系生活实际,创设学习情境.本课是有理数的第一节课时.引人负数是数的范围的一次重要扩充,学生头脑中关于数的结构要做重大调整(其实是一次知识的顺应过程),而负数相对于以前的数,对学生来说显得更抽象,因此,这个概念并不是一下就能建立的.为了接受这个新的数,就必须对原有的数的结构进行整理,引人币的举例就是这个目的.
负数的产生主要是因为原有的数不够用了(不能正确简洁地表示数量),书本的例子
或图片中出现的负数就是让学生去感受和体验这一点.使学生接受生活生产实际中确实
存在着两种相反意义的量是本课的教学难点,所以在教学中可以多举几个这方面的例
子,并且所举的例子又应该符合学生的年龄和思维特点。当学生接受了这个事实后,引入负数(为了区分这两种相反意义的量)就是顺理成章的事了.
这个教学设计突出了数学与实际生活的紧密联系,使学生体会到数学的应用价值,
体现了学生自主学习、合作交流的教学理念,书本中的图片和例子都是生活生产中常见
的事实,学生容易接受,所以应该让学生自己看书、学习,并且鼓励学生讨论交流,教师作适当引导就可以了。
课题: 1.1 正数和负数(2)
教学目标 1, 通过对数“零”的意义的探讨,进一步理解正数和负数的概念;
2, 利用正负数正确表示相反意义的量(规定了指定方向变化的量)
3, 进一步体验正负数在生产生活实际中的广泛应用,提高解决实际问题的能力,激发学习数学的兴趣。
教学难点 深化对正负数概念的理解
知识重点 正确理解和表示向指定方向变化的量
教学过程(师生活动) 设计理念
知识回顾与深化 回顾:上一节课我们知道了在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分这两种量,我们用正数表示其中一种意义的量,那么另一种意义的量就用负数来表示.这就是说:数的范围扩大了(数有正数和负数之分).那么,有没有一种既不是正数又不是负数的数呢?
问题1:有没有一种既不是正数又不是负数的数呢?
学生思考并讨论.
(数0既不是正数又不是负数,是正数和负数的分
界,是基准.这个道理学生并不容易理解,可视学生的讨论情况作些启发和引导,下面的例子供参考)
例如:在温度的表示中,零上温度和零下温度是两种不同意义的量,通常规定零上温度用正数来表示,零下温度用负数来表示。那么某一天某地的温度是
零上7℃,最低温度是零下5℃时,就应该表示为+7℃
和-5℃,这里+7℃和-5℃就分别称为正数和负数 .
那么当温度是零度时,我们应该怎样表示呢?(表示为0℃),它是正数还是负数呢?由于零度既不是零上温度也不是零下温度,所以,0既不是正数也不是负数
问题2:引入负数后,数按照“两种相反意义的量”来分,可以分成几类? “数0耽不是正数,也不是负数”也应看作是负数定义的一部分.在引入
负数后,0除了表示一个也没有以外,还是正数和负数的分界.了解。的这一层意义,也有助于对正负数的理解;且对数的顺利扩张和有理毅概念的建立都有帮助。
所举的例子,要考虑学生的可接受性.“数0既不是正数,也不是负数”应从相反意义的1这个角度来说明.这个问题只要初步认识即
可,不必深究.
分析问题
解决问题 问题3:教科书第6页例题
说明:这是一个用正负数描述向指定方向变化情况的例子, 通常向指定方向变化用正数表示;向指定方向的相反方向变化用负数表示。这种描述在实际生活中有广泛的应用,应予以重视。教学中,应让学生体验“增长”和“减少”是两种相反意义的量,要求写出“体重的增长值”和“进出口额的增长率”,就暗示着用正数来表示增长的量。
归纳:在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义(教科书第6页).
类似的例子很多,如:
水位上升-3m,实际表示什么意思呢?
收人增加-10%,实际表示什么意思呢?
等等。
可视教学中的实际情况进行补充.
这种用正负数描述向指定方向变化情况的例子,在实际生活中有广泛的应用,按题意找准哪种
意义的量应该用正数表示是解题的关健.这种描述具有相反数的影子,例如第(1)题中小明的体重可说成是减少-2kg,但现在
不必向学生提出.
巩固练习 教科书第6页练习
阅读思考
教科书第8页 阅读与思考是正负数应用的很好例子,要花时间让学生讨论交流
小结与作业
课堂小结 以问题的形式,要求学生思考交流:
1,引人负数后,你是怎样认识数0的,数0的意义有哪些变化?
2,怎样用正负数表示具有相反意义的量?
(用正数表示其中一种意义的量,另一种量用负数表示;特别地,在用正负数表示向指定方向变化的量时,通常把向指定方向变化的量规定为正数,而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数.)
本课作业 1, 必做题:教科书第7页习题1.1第3,6,7,8题
2, 选做题:教师自行安排
本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)
1,本课主要目的是加深对正负数概念的理解和用正负数表示实际生产生活中的向指
定方向变化的量。
2,“数0既不是正数,也不是负数,’(要从0不属于两种相反意义的量中的任何一种上来理解)也应看作是负数定义的一部分.在引人负数后,除了表示一个也没有以外,还是正数和负数的分界。了解0的这一层意义,也有助于对正负数的理解,且对数的顺利扩张和有理数概念的建立都有帮助.由于上节课的重点是建立两种相反意义量的概念,考虑到学生的可接受性,所以作为知识的回顾和深化而放到本课.
3,教科书的例子是用正负数表示(向指定方向变化的)量的实际应用,用这种方式描述的例子很多,要尽量使学生理解.
4,本设计体现了学生自主学习、交流讨论的教学理念,教学中要让学生体验数学知识在实际中的合理应用,在体验中感悟和深化知识.通过实际例子的学习激发学生学习数学的兴趣.
正数和负数(1)
教学目标 1, 整理前两个学段学过的整数、分数(包括小数)的知识,掌握正数和负数的概念;
2, 能区分两种不同意义的量,会用符号表示正数和负数;
3, 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要,激发学生学习数学的兴趣。
教学难点 正确区分两种不同意义的量。
知识重点 两种相反意义的量
教学过程(师生活动) 设计理念
设置情境
引入课题 上课开始时,教师应通过具体的例子,简要说明在前两个学段我们已经学过的数,并由此请学生思考:生
活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗?下面的例子
仅供参考.
师:今天我们已经是七年级的学生了,我是你们的数学老师.下面我先向你们做一下自我介绍,我的名字是XX,身高1.73米,体重58.5千克,今年40岁.我们的班级是七(13)班,有60个同学,其中男同学有22个,占全班总人数的37%…
问题1:老师刚才的介绍中出现了几个数?分别是什么?你能将这些数按以前学过的数的分类方法进行分类吗?
学生活动:思考,交流
师:以前学过的数,实际上主要有两大类,分别是整数和分数(包括小数).
问题2:在生活中,仅有整数和分数够用了吗?
请同学们看书(观察本节前面的几幅图中用到了什么数,让学生感受引入负数的必要性)并思考讨论,然后进行交流。
(也可以出示气象预报中的气温图,地图中表示地形高低地形图,工资卡中存取钱的记录页面等)
学生交流后,教师归纳:以前学过的数已经不够用了,有时候需要一种前面带有“-”的新数。 先回顾小学里学过的数的类型,归纳出我们已经学了整数和分数,然后,举一些实际生活*有相反意义的量,说明为了表示相反意义的量,我们需要引入负数,这样做强调了数学的严
密性,但对于学生来说,更多
地感到了数学的枯燥乏味为了既复习小学里学过的数,又能激发学生的学习兴
趣,所以创设如下的问题情境,以尽量贴近学生的实际.
这个问题能激发学生探究的欲望,学生自己看书学习是培养学生自主学习的重要途径,都应予以重视。
以上的情境和实例使学生体会生活中处处有数学,通过实例,使学生获取大量的感性材料,为正确建立相反意义的量奠定基础。
分析问题
探究新知 问题3:前面带有“一”号的新数我们应怎样命名它呢?为什么要引人负数呢?通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢?
这些问题都必须要求学生理解.
教师可以用多媒体出示这些问题,让学生带着这些问题看书自学,然后师生交流.
这阶段主要是让学生学会正数和负数的表示.
强调:用正,负数表示实际问题中具有相反意义的量,而相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义相反,如向东与向西,收人与支出;二是它们都是数量,而且是同类的量. 这些问题是这节课的主要知识,教师要清楚地向学生说明,并且要注意语言的准确与规范,要舍得花时间让学充分发表想法。
举一反三思维拓展 经过上面的讨论交流,学生对为什么要引人负数,对怎样用正数和负数表示两种相反意义的量有了初步的理解,教师可以要求学生举出实际生活中类似的例子,以加深对正数和负数概念的理解,并开拓思维.
问题4:请同学们举出用正数和负数表示的例子.
问题5:你是怎样理解“正整数”“负整数,,’’正分数”和“负分数”的呢?请举例说明.
能否举出例子是学生对知识掌握程度的体现,也能进一步帮助学生理解引负数的必要性
课堂练习 教科书第5页练习
小结与作业
课堂小结 围绕下面两点,以师生共同交流的方式进行:
1, 0由于实际问题中存在着相反意义的量,所以要引人负数,这样数的范围就扩大了;
2,正数就是以前学过的0以外的数(或在其前面加“+”),负数就是在以前学过的0以外的数前面加“-”。
本课作业 教科书第7页习题1.1 第1,2,4,5(第3题作为下节课的思考题。
作业可设必做题和选 做题,体现要求的层次性,以满足不同学生的需要
本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)
密切联系生活实际,创设学习情境.本课是有理数的第一节课时.引人负数是数的范围的一次重要扩充,学生头脑中关于数的结构要做重大调整(其实是一次知识的顺应过程),而负数相对于以前的数,对学生来说显得更抽象,因此,这个概念并不是一下就能建立的.为了接受这个新的数,就必须对原有的数的结构进行整理,引人币的举例就是这个目的.
负数的产生主要是因为原有的数不够用了(不能正确简洁地表示数量),书本的例子
或图片中出现的负数就是让学生去感受和体验这一点.使学生接受生活生产实际中确实
存在着两种相反意义的量是本课的教学难点,所以在教学中可以多举几个这方面的例
子,并且所举的例子又应该符合学生的年龄和思维特点。当学生接受了这个事实后,引入负数(为了区分这两种相反意义的量)就是顺理成章的事了.
这个教学设计突出了数学与实际生活的紧密联系,使学生体会到数学的应用价值,
体现了学生自主学习、合作交流的教学理念,书本中的图片和例子都是生活生产中常见
的事实,学生容易接受,所以应该让学生自己看书、学习,并且鼓励学生讨论交流,教师作适当引导就可以了。
课题: 1.1 正数和负数(2)
教学目标 1, 通过对数“零”的意义的探讨,进一步理解正数和负数的概念;
2, 利用正负数正确表示相反意义的量(规定了指定方向变化的量)
3, 进一步体验正负数在生产生活实际中的广泛应用,提高解决实际问题的能力,激发学习数学的兴趣。
教学难点 深化对正负数概念的理解
知识重点 正确理解和表示向指定方向变化的量
教学过程(师生活动) 设计理念
知识回顾与深化 回顾:上一节课我们知道了在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分这两种量,我们用正数表示其中一种意义的量,那么另一种意义的量就用负数来表示.这就是说:数的范围扩大了(数有正数和负数之分).那么,有没有一种既不是正数又不是负数的数呢?
问题1:有没有一种既不是正数又不是负数的数呢?
学生思考并讨论.
(数0既不是正数又不是负数,是正数和负数的分
界,是基准.这个道理学生并不容易理解,可视学生的讨论情况作些启发和引导,下面的例子供参考)
例如:在温度的表示中,零上温度和零下温度是两种不同意义的量,通常规定零上温度用正数来表示,零下温度用负数来表示。那么某一天某地的温度是
零上7℃,最低温度是零下5℃时,就应该表示为+7℃
和-5℃,这里+7℃和-5℃就分别称为正数和负数 .
那么当温度是零度时,我们应该怎样表示呢?(表示为0℃),它是正数还是负数呢?由于零度既不是零上温度也不是零下温度,所以,0既不是正数也不是负数
问题2:引入负数后,数按照“两种相反意义的量”来分,可以分成几类? “数0耽不是正数,也不是负数”也应看作是负数定义的一部分.在引入
负数后,0除了表示一个也没有以外,还是正数和负数的分界.了解。的这一层意义,也有助于对正负数的理解;且对数的顺利扩张和有理毅概念的建立都有帮助。
所举的例子,要考虑学生的可接受性.“数0既不是正数,也不是负数”应从相反意义的1这个角度来说明.这个问题只要初步认识即
可,不必深究.
分析问题
解决问题 问题3:教科书第6页例题
说明:这是一个用正负数描述向指定方向变化情况的例子, 通常向指定方向变化用正数表示;向指定方向的相反方向变化用负数表示。这种描述在实际生活中有广泛的应用,应予以重视。教学中,应让学生体验“增长”和“减少”是两种相反意义的量,要求写出“体重的增长值”和“进出口额的增长率”,就暗示着用正数来表示增长的量。
归纳:在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义(教科书第6页).
类似的例子很多,如:
水位上升-3m,实际表示什么意思呢?
收人增加-10%,实际表示什么意思呢?
等等。
可视教学中的实际情况进行补充.
这种用正负数描述向指定方向变化情况的例子,在实际生活中有广泛的应用,按题意找准哪种
意义的量应该用正数表示是解题的关健.这种描述具有相反数的影子,例如第(1)题中小明的体重可说成是减少-2kg,但现在
不必向学生提出.
巩固练习 教科书第6页练习
阅读思考
教科书第8页 阅读与思考是正负数应用的很好例子,要花时间让学生讨论交流
小结与作业
课堂小结 以问题的形式,要求学生思考交流:
1,引人负数后,你是怎样认识数0的,数0的意义有哪些变化?
2,怎样用正负数表示具有相反意义的量?
(用正数表示其中一种意义的量,另一种量用负数表示;特别地,在用正负数表示向指定方向变化的量时,通常把向指定方向变化的量规定为正数,而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数.)
本课作业 1, 必做题:教科书第7页习题1.1第3,6,7,8题
2, 选做题:教师自行安排
本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)
1,本课主要目的是加深对正负数概念的理解和用正负数表示实际生产生活中的向指
定方向变化的量。
2,“数0既不是正数,也不是负数,’(要从0不属于两种相反意义的量中的任何一种上来理解)也应看作是负数定义的一部分.在引人负数后,除了表示一个也没有以外,还是正数和负数的分界。了解0的这一层意义,也有助于对正负数的理解,且对数的顺利扩张和有理数概念的建立都有帮助.由于上节课的重点是建立两种相反意义量的概念,考虑到学生的可接受性,所以作为知识的回顾和深化而放到本课.
3,教科书的例子是用正负数表示(向指定方向变化的)量的实际应用,用这种方式描述的例子很多,要尽量使学生理解.
4,本设计体现了学生自主学习、交流讨论的教学理念,教学中要让学生体验数学知识在实际中的合理应用,在体验中感悟和深化知识.通过实际例子的学习激发学生学习数学的兴趣.
教学目标
1.了解的概念,会求有理数的;
2.会利用比较两个负数的大小;
3.在概念形成过程中,渗透数形结合等思想方法,并注意培养学生的思维能力.
教学建议
一、重点、难点分析
概念 既是本节的教学重点又是教学难点 。关于的概念,需要明确的是无论是的几何定义,还是的代数定义,都揭示了的一个重要性质——非负性,也就是说,任何一个有理数的都是非负数,即无论a取任意有理数,都有 。
教材上的定义是从几何角度给出的,也就是从数轴上表示数的点在数轴上的位置出发,得到的定义。这样,数轴的概念、画法、利用数轴比较有理数的大小、相反数,以及,通过数轴,这些知识都联系在一起了。此外,0的是0,从几何定义出发,就十分容易理解了。
二、知识结构
的定义 的表示方法 用比较有理数的大小
三、教法建议
用语言叙述的定义,用解析式的形式给出的定义,或利用数轴定义,从理论上讲都是可以的.初学用语言叙述的定义,好像更便于学生记忆和运用,以后逐步改用解析式表示的定义,即
在教学中,只能突出一种定义,否则容易引起混乱.可以把利用数轴给出的定义作为的一种直观解释.
此外,要反复提醒学生:一个有理数的不能是负数,但不能说一定是正数.“非负数”的概念视学生的情况,逐步渗透,逐步提出.
四、有关的一些内容
1.的代数定义
一个正数的是它本身;一个负数的是它的相反数;零的是零.
2.的几何定义
在数轴上表示一个数的点离开原点的距离,叫做这个数的.
3.的主要性质
(2)一个实数的是一个非负数,即|a|≥0,因此,在实数范围内,最小的数是零.
(4)两个相反数的相等.
五、运用比较有理数的大小
1.两个负数大小的比较,因为两个负数在数轴上的位置关系是:较大的负数一定在较小的负数左边,所以,两个负数,大的反而小.
比较两个负数的方法步骤是:
(1)先分别求出两个负数的;
(2)比较这两个的大小;
(3)根据“两个负数,大的反而小”作出正确的判断.
2.两个正数大小的比较,与小学学习的方法一致,大的较大.
教学设计示例
(一)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.能根据一个数的表示“距离”,初步理解的概念.
2.给出一个数,能求它的.
(二)能力训练点
在把的代数定义转化成数学式子的过程中,培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力.
(三)德育渗透点
1.通过解释的几何意义,渗透数形结合的思想.
2.从上节课学的相反数到本节的,使学生感知数学知识具有普遍的联系性.
(四)美育渗透点
通过数形结合理解的意义和相反数与的联系,使学生进一步领略数学的和谐美.
二、学法引导
1.教学方法:采用引导发现法,辅之以讲授,学生讨论,力求体现“教为主导,学为主体”的教学要求,注意创设问题情境,使学生自得知识,自觅规律.
2.学生学法:研究+6和-6的不同点和相同点→概念→巩固练习→归纳小结(代数意义)
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:给出一个数会求出它的.
2.难点:的几何意义,代数定义的导出.
3.疑点:负数的是它的相反数.
四、课时安排
2课时
五、教具学具准备
投影仪(电脑)、三角板、自制胶片.
六、师生互动活动设计
教师提出+6和-6有何相同点和不同点,学生研究讨论得出概念;教师出示练习题,学生讨论解答归纳出代数意义.
七、教学步骤
(一)创设情境,复习导入
师:以上我们学习了数轴、相反数.在练习本上画一个数轴,并标出表示-6,,0及它们的相反数的点.
学生活动:一个学生板演,其他学生在练习本上画.
【教法说明】的学习是以相反数为基础的,在学生动手画数轴的同时,把相反数的知识进行复习,同时也为概念的引入奠定了基础,这里老师不包办代替,让学生自己练习.
(二)探索新知,导入 新课
师:同学们做得非常好!-6与6是相反数,它们只有符号不同,它们什么相同呢?
学生活动:思考讨论,很难得出答案.
师:在数轴上标出到原点距离是6个单位长度的点.
学生活动:一个学生板演,其他学生在练习本上做.
师:显然A点(表示6的点)到原点的距离是6,B点(表示-6的点)到原点距离是6个单位长吗?
学生活动:产生疑问,讨论.
师:+6与-6虽然符号不同,但表示这两个数的点到原点的距离都是6,是相同的.我们把这个距离叫+6与-6的.
[板书]2.4(1)
【教法说明】针对“互为相反数的两数只有符号不同”提出问题:“它们什么相同呢?”在学生头脑中产生疑问,激发了学生探索知识的欲望,但这时学生很难回答出此问题,这时教师注意引导再提出要求:“找到原点距离是6个单位长度的点”这时学生就有了一个攀登的台阶,自然而然地想到表示+6,-6的点到原点的距离相同,从而引出了的概念,这样一环紧扣一环,时而紧张时而轻松,不知不觉学生已获得了知识.
师:-6的是表示-6的点到原点的距离,-6的是6;
6的是表示6的点到原点的距离,6的是6.
提出问题:(1)-3的表示什么?
(2)的呢?
(3)的呢?
学生活动:(1)(2)题根据教师的引导学生口答,(3)题讨论后口答.
[板书]一个数a的是数轴上表示数a的点到原点的距离.
数a的是|a|
【教法说明】由-6,6,-3,这些特殊的数的引出数的,逐层铺垫,由学生得出的几何意义,既理解了一个数的的含义也训练了学生口头表达能力,突破了难点.
(三)尝试反馈,巩固练习
师:数可以表示任意数,若把换成,9,0,-1,-0.4观察数轴,它们的各是多少?
学生活动:口答:,,,,
师:你在自己画的数轴上标出五个数,让同桌指出它们的.
学生活动:按教师要求自己又当“小老师”又当“学生”.
教师找一组学生回答,并及时纠正出现的错误.
(出示投影1)
例 求8,-8,,的.
师:观察数轴做出此题.
学生活动:口答
,,,.
师:由此题目你能想到什么规律?
学生活动:讨论得出—互为相反数的两数相同.
【教法说明】这一环节是对的几何定义的巩固.这里对于定义的理解不能空谈“5的、-7的是多少”?而是与数轴相结合,始终利用表示这数的点到原点的距离是这个数的这一概念.教师先阐明这个字母可表示任意数,再把换成一组数,学生自己又把换成了一些数,指出它们的,这样既理解了数所表示的广泛含义,又巩固了的定义.然后,通过例题总结出了互为相反数的两数的相等这一规律,既呼应了前面内容,又升华了的概念.
师:观察数轴,在原点右边的点表示的数(正数)的有什么特点?
在原点左边的点表示的数(负数)的呢?
生:思考,不能轻易回答出来.
师:再看前面我们所求的,,,,.你能得出什么规律吗?
学生活动:思考后一学生口答.
教师纠正并板书:
[板书]正数的是它本身.
负数的是它的相反数.
0的是0.
师:字母可表示任意的数,可以表示正数,也可以表示负数,也可以表示0.
教师引导学生用数学式子表示正数、负数、0,并再提问:这时的分别是多少?
学生活动:分组讨论,教师加入讨论,学生互相补充回答.
教师板书:
[板书]
若,则
若,则
若,则
师强调:这种表示方法就相当于前面三句话,比较起来后者更通俗易懂.
【教法说明】用字母表示规律是难点.这时教师放手,让学生有目的地考虑、分析,共同得出结论.
巩固练习:
(出示投影2)
1.化简:,,.
,,;
2.计算:①.
②.
③.
学生活动:1题口答,2题自己演算,三个学生板演.
【教法说明】1题的前四个旨在直接运用的性质,后两个略有加深,需要讨论后回答;2题(3)小题让学生区别符号和括号的不同含义.
(四)归纳小结
师:这节课我们学习了.
(1)一个数的是在数轴上表示这个数的点到原点的距离;
(2)求一个数的必须先判断是正数还是负数.
回顾反馈:
(出示投影3)
1.-3的是在_____________上表示-3的点到__________的距离,-3的是____________.
2.是3的数有____________个,各是___________;
是2.7的数有___________个,各是___________;
是0的数有____________个,是____________.
是-2的数有没有?
(总结:)
3.(1)若,则;
(2)若,则.
【教法说明】教师在总结完本节课的知识要点后,再回头对本节重点内容进行反馈练习,并且注意把知识进行升华.
八、随堂练习
1.判断题
(1)数的就是数轴上表示数的点与原点的距离( )
(2)负数没有( )
(3)最小的数是0( )
(4)如果甲数的比乙数的大,那么甲数一定比乙数大( )
(5)如果数的等于,那么一定是正数
2.填表
原数
3
相反数
0
倒数
3.填空
(1);(2);(3);
(4);(5)若,则;(6).
九、布置作业
课本第66页2、4.
十、板书设计
随堂练习答案
1.√ × √ × ×
2.略
3.(1),(2)7,(3)-7,(4)2,(5)3或-3,(6)
作业 答案
2.+7,-7,-0.35,
4.<,> ,>,=
绝 对 值(二)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
会利用比较两个负数的大小.
(二)能力训练点
利用概念比较有理数的大小,培养学生的逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
不断加深对有理数比较大小方法的认识,渗透数形结合的思想.
(四)美育渗透点
通过本节课的学习,学生会发现利用比较两个负数大小与利用数轴比较任意两个数的大小是和谐统一的,学生会进一步感受到数学的和谐美.
二、学法引导
1.教学方法:采用引导发现法总结规律,并辅之以变式训练进行扎实巩固,以复习提问作为铺垫,突破难点.
2.学生学法:观察→讨论→归纳→练习
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:利用比较两个负数的大小.
2.难点:利用比较两个异分母负分数的大小.
四、教具学具准备
投影仪(或电脑)、自制胶片.
五、师生互动活动设计
教师提出问题,学生讨论归纳;教师出示练习题,学生练习巩固.
六、教学步骤
(一)创设情境,复习提问
师:我们前面学习了,我相信大家学得都非常好.一定能做好下面这个题.
[板书]
比较大小
(1)与 与
(2)4与-5 0.9与1.1
-10与0 -9与-1
学生活动:(1)题在练习本上演算,两个学生板演,(2)题学生抢答.
【教法说明】(1)题是为了分散利用比较两个负分数的大小这一难点埋下了伏笔,在这个题目中用最简单的“∵,∴”的形式训练学生简单的推理能力.(2)题是复习利用数轴比较两个数的大小,让学生体会出这四个题中觉得难度较大的题目是最后小题两个负数比较大小,从而引出课题.
教师板书课题
[板书] 2.4 (2)
(二)探索新知,讲授新课
1.规律的发现
在比较-9与-1时,教师订正的同时要求学生说出比较-9与-1的根据(数轴上的两个数右边的总比左边的大),同时在黑板上(学生在练习本上)画出数轴.
提出问题:在数轴上任意取两个负数,比较大小,观察较小的数有什么特点?
学生活动:尝试举例,讨论得出结果—两个负数,大的反而小,或两个负数小的反而大.(师板书)
强调:今后比较两个负数的大小又多了一种方法,即两个负数,大的反而小.
【教法说明】教师注意“放”时要让学生带着针对性的问题去思考、分析,既给学生一片自己发挥想象的天地,又使学生不至于走偏.
巩固练习:
(出示投影1)
比较大小:
(1)-3与-8; (2)-0.1与-0.2;
(3)与; (4)与.
学生活动:讨论后抢答.
【教法说明】(1)题让学生讨论时注意写好比较大小的格式,运用“∵”、“∴”的格式初步训练学生逻辑推理能力.(2)(3)(4)题通过数的变化,巩固对规律的认识.
[板书]
解:
∴ ∴
2.出示例题(出示投影2)
比较大小
(1)与.
提出问题:对于异分母的两个负分数怎样利用比较大小?
学生活动:讨论后自己尝试写.
师:我们在复习时已比较出了与的,可以在此基础上直接得出结论.
[板书]
解:
∴ ∴
【教法说明】由于复习时学生对与已进行了比较,会非常轻松的完成此题目.教师设置了一级一级的台阶,让学生自己攀登,既发挥了学生的主体作用,又从题目的解决过程中训练了学生的推理能力.
巩固练习:(出示投影3)
比较大小:
(1)与,(2)与.
学生活动:两个学生板演,其他学生自己练习.
【教法说明】比较两个负分数的大小是这节的重点也是难点,利用这两个小题让学生从整体上把握一下方法,达到熟练掌握的程度.
(三)归纳小结
师:我们今天主要学习的是两个负数比较大小.
(1)两个负数,大的反而小.
(2)利用数轴可以比较任意两个数的大小,包括两个负数.
【教法说明】教师的小结必须把今天的所学纳入知识系统,明确说明利用数轴可以比较任意两数的大小,而利用比较大小只适用于两个负数.
七、随堂练习
1.判断题
(1)两个有理数比较大小,大的反而小
(2)
(3)有理数中没有最小的数
(4)若,则
(5)若,则
2.比较大小
(1)-2__________5,,-0.01__________-1
(2)和(要有过程)
3.写出不大于4的所有整数,并把它们表示在数轴上.
八、布置作业
(一)必做题:课本第67页A组7.
(二)选做题:课本第68页B组3.
九、板书设计
随堂练习答案
1.× × √ × √
2.(1)<,< >;(2)>.
3.±1,±2,±3,±4,0.
作业 答案
(一)必做题:7.(1) (2)
(3) (4)
(二)选做
探究活动
填空:
(1)若|a|=6,则a=______;
(2)若|-b|=0.87,则b=______;
(4)若x+|x|=0,则x是______数.
分析:已知一个数的求这个数,则这个数有两个, 它们是互为相反数.由
解: (1)∵|a|=6,∴a=±6;
(2)∵|-b|=0.87,∴b=±0.87;
(4)∵x+|x|=0,∴|x|=-x.
∵|x|≥0,∴-x≥0
∴x≤0,x是非正数.
点评:“”是代数中最重要的概念之一,应当从正、逆两个方面来理解这个概念.对的代数定义,至少要认识到以下四点:
(1)任何一个数的一定是正数或0,即|a|≥0;
(2)互为相反数的两个数的相等,|a|=|-a|;
(3)如果一个数的是它本身,那么这个数一定是正数或0;如果一个数的是它的相反数,那么这个数一定是负数或0;
(4)求一个含有字母的代数式的值,一定要根据字母的取值范围分情况进行讨论.
题:3.第2
教学目标
1.使学生正确理解数轴的意义,掌握数轴的三要素;
2.使学生学会由数轴上的已知点说出它所表示的数,能将有理数用数轴上的点表示出来;
3.使学生初步理解数形结合的思想方法.
教学重点和难点
重点:初步理解数形结合的思想方法,正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.
难点:正确理解有理数与数轴上点的对应关系.
课堂教学过程 设计
一、从学生原有认知结构提出问题
1.小学里曾用“射线”上的点来表示数,你能在射线上表示出1和2吗?
2.用“射线”能不能表示有理数?为什么?
3.你认为把“射线”做怎样的改动,才能用来表示有理数呢?
待学生回答后,教师指出,这就是我们本节课所要学习的内容——数轴.
二、讲授新课
让学生观察挂图——放大的温度计,同时教师给予语言指导:利用温度计可以测量温度,在温度计上有刻度,刻度上标有读数,根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数,从而得到所测的温度.在0上10个刻度,表示10℃;在0下5个刻度,表示-5℃.
与温度计类似,我们也可以在一条直线上画出刻度,标上读数,用直线上的点表示正数、负数和零.具体方法如下(边说边画):
1.画一条水平的直线,在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置,如果所需的都是正数,也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃);
2.规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向),那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正,0℃以下为负);
3.选取适当的长度作为单位长度,在直线上,从原点向右,每隔一个长度单位取一点,依次表示为1,2,3,…从原点向左,每隔一个长度单位取一点,依次表示为-1,-2,-3,…
提问:我们能不能用这条直线表示任何有理数?(可列举几个数)
在此基础上,给出数轴的定义,即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
进而提问学生:在数轴上,已知一点p表示数-5,如果数轴上的原点不选在原来位置,而改选在另一位置,那么p对应的数是否还是-5?如果单位长度改变呢?如果直线的正方向改变呢?
通过上述提问,向学生指出:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度,缺一不可.
三、运用举例 变式练习
例1 画一个数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点:
例2 指出数轴上A,B,C,D,E各点分别表示什么数.
课堂练习
示出来.
2.说出下面数轴上A,B,C,D,O,M各点表示什么数?
最后引导学生得出结论:正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,零用原点表示.
四、小结
指导学生阅读教材后指出:数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了对应关系,它揭示了数和形之间的内在联系,为我们研究问题提供了新的方法.
本节课要求同学们能掌握数轴的三要素,正确地画出数轴,在此还要提醒同学们,所有的有理数都可用数轴上的点来表示,但是反过来不成立,即数轴上的点并不是都表示有理数,至于数轴上的哪些点不能表示有理数,这个问题以后再研究.
五、作业
1.在下面数轴上:
(1)分别指出表示-2,3,-4,0,1各数的点.
(2)A,H,D,E,O各点分别表示什么数?
2.在下面数轴上,A,B,C,D各点分别表示什么数?
3.下列各小题先分别画出数轴,然后在数轴上画出表示大括号内的一组数的点:
(1){-5,2,-1,-3,0}; (2){-4,2.5,-1.5,3.5};
课堂教学设计说明
从学生已有知识、经验出发研究新问题,是我们组织教学的一个重要原则.小学里曾学过利用射线上的点来表示数,为此我们可引导学生思考:把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数?伴以温度计为模型,引出数轴的概念.教学中,数轴的三要素中的每一要素都要认真分析它的作用,使学生从直观认识上升到理性认识.直线、数轴都是非常抽象的数学概念,当然对初学者不宜讲的过多,但适当引导学生进行抽象的思维活动还是可行的.例如,向学生提问:在数轴上对应一亿万分之一的点,你能画出来吗?它是不是存在等.
教学目标
1.了解的意义,会求有理数的;
2.进一步培养学生分类讨论的思想和观察、归纳与概括的能力.
3.初步认识对立统一的规律。
教学建议
一、重点、难点分析
本节的重点是了解的意义,理解的代数定义与几何定义的一致性.难点是多重符号的化简.“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同(也就是下节课要学的绝对值相同)。不能理解为只要符号不同的两个数就互为。另外,“0的是0”也是定义的一部分。关于“数a的是-a”,应该明确的是-a不一定是正数,a不一定是正数。关于多重符号的化简,如果一个正数前面有偶数个“-”号,可以把“-”号一起去掉;一个正数前面有奇数个“-”号,则化简符号后只剩一个“-”号。
二、知识结构
的定义 的性质及其判定 的应用
三、教法建议
这节课教学的主要内容是互为的概念。
由于教材先讲,后讲绝对值,所以的定义只是形式上的描述,主要通过的几何意义理解的概念。教学中建议,直接给出的几何定义,通过实例了解求一个数的的方法。按着数轴————绝对值的顺序教学,可充分利用数轴使数与形更好地结合起来。
四、的相关知识
1.的意义
(1)只有符号不同的两个数叫做互为,如-1999与1999互为。
(2)从数轴上看,位于原点两旁,且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为。如5与-5是互为。
(3)0的是0。也只有0的是它的本身。
(4)是表示两个数的相互关系,不能单独存在。
2.的表示
在一个数的前面添上“-”号就成为原数的。若 表示一个有理数,则 的表示为- 。在一个数的前面添上“+”号仍与原数相联系同。例如,+7=7,特别地,+0=0,-0=0。
3.的特性
若 互为,则 ,反之若 ,则 互为。
4.多重符号化简
(1)的意义是简化多重符号的依据。如是-1的,而-1的为+1,所以。
(2)多重符号化简的结果是由“-”号的个数决定的。如果“-”号是奇数个,则
果为负;如果是偶然数个,则结果为正。可简写为“奇负偶正”。
例如, 。由此可见,化简一个数就是把多重符号化成单一符号,若结果是“+”号,一般省略不写。
(一)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.了解:互为的几何意义.
2.掌握:给出一个数能求出它的.
(二)能力训练点
1.训练学生会利用数轴采用数形结合的方法解决问题.
2.培养学生自己归纳总结规律的能力.
(三)德育渗透点
1.通过解释的几何意义,进一步渗透数形结合的思想.
2.通过求一个数的,使学生进一步认识对应、统一规律.
(四)美育渗透点
1.通过求一个数的知道任何一个数都有它的,学生会进一步领略到数的完整美.
2.通过简化一个数的符号,使学生进一步体会数学的简洁美.
二、学法引导
1.教学方法:利用引导发现法,教师注意过渡导语 的设置,充分发挥学生的主体地位.
2.学生学法:感性认识→理性认识→练习反馈→总结.
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:求已知数的.
2.难点:根据的意义化简符号.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、三角板、自制胶片.
六、师生互动活动设计
学生演示,教师点拨,师生共同得出的概念,教师出示投影,学生以多种形式练习反馈.
七、教学步骤
(一)探索新知,导入 新课
1.互为的概念的引出
演示活动:要一个学生向前走5步,向后走5步.
提出问题“如果向前为正,向前走5步,向后走5步各记作什么?
学生活动:一个学生口答,即向前走5步记作+5;向后走5步记作-5步.
[板书]
+5,-5
师:这位同学两次行走的距离都是5步,但两次的方向相反,这就决定这两个数的符号不同,像这样的两个数叫做互为.
[板书]2.3
【教法说明】由于有了正负数的学习,进行以上演示,学生们非常容易地得出+5,-5两数,并能根据演示过程体会出这两个数的联系与区别,在轻松愉悦的活动中获得了知识,认识了互为.
师:画一数轴,在数轴上任意标出两点,使这两点表示的数互为(一个学生板演,其他学生自练)
师:这样的两个数即互为,你能试述具备什么特点的两数是互为?(学生讨论后举手回答)
[板书]只有符号不同的两个数,其中一个叫另一个的.
【教法说明】在演示活动后,已出现了+5,-5这两个数,教师及时阐明它们就是互为的两数,这时不急于总结互为的概念,而是又提供了一个学生体会概念的机—利用数轴任找一组互为的两数,先观察在数轴上表示这两个数的点的位置关系,再观察两个数本身的特点.更形象直观地引导学生自己得出的概念.
2.理解概念
(出示投影1)
判断:(1)-5是5的( )
(2)5是-5的( )
(3)与互为()
(4)-5是( )
学生活动:学生讨论.
【教法说明】对概念的理解不是单纯地强调,根据学生判断的结果加深对“互为”的理解,提高学生全面分析问题的能力.
师:0的是0.
(出示投影2)
1.在前面画的数轴上任意标出4个数,并标出它们的.
2.分别说出9,-7,0,-0.2的.
3.指出-2.4,,-1.7,1各是什么数的?
4.的是什么?
学生活动:1题同桌互相订正,2、3题抢答.
【教法说明】1题注意培养学生运用数形结合的方法理解的概念,让学生深知:在数轴上,原点两旁,离开原点相等距离的两个点,所表示的两个数互为.2、3、4题是对的概念的直接运用,由特殊的数到一般的字母,紧扣“只有符号不同的两数即互为”这一概念,又得出一个非常代数性的结论“的是.”
[板书]a的是-a.
师:的是,可表示任意数—正数、负数、0,求任意一个数的就可以在这个数前加一个“-”号.
提出问题:若把分别换成+5,-7,0时,这些数的怎样表示?
.
.
.
提出问题:前面加“-”号表示的,-(+1.1)表示什么?-(-7)呢,-(-9.8)呢?它们的结果应是多少?
学生活动:讨论、分析、回答.
【教法说明】利用的概念化简符号是这节课的难点.这一环节,紧紧抓住学生的心理及时提问:“既然的是,那么+5,7,0的怎样表示呢?”学生的思维由一般再引到特殊能答出-(+巩固练习
(出示投影3)
1.是______________的,.
2.是_____________的,.
3.是_____________的,.
4.是_____________的,.
学生活动:思考后口答.
学生回答后教师引导:在一个数前面加上“-”号表示求这个数的,如果在这些数前面加上“+”号呢?
[板书]
如:
学生回答:在一个数前面加上“+”仍表示这个数,“+”号可省略.并答出以上式子的结果.
【教法说明】根据以上题目学生对一数前面加“-”号表示这数的和一数前面加“+”号表示这数本身都已非常熟悉,这时可根据做题情况要学生及时分析观察规律的存在,这样可以从学生思维的不同角度,指引学生解决问题,并同时也暗示学生在做题时不是单纯地演练,一定要注意规律的总结.
巩固练习:
1.例题2 简化-(+3)-(-4)的符号.
2.简化下列各数的符号
3.自己编题
学生活动:1、2题抢答,3题分组训练.1、2题一定要让学生说明每个式子表示的含义,有助于对概念的理解.3题活跃课堂气氛,同时考查了学生对这一知识的理解掌握程度.
(三)归纳小结
师:我们这节课学习了,归纳如下:
1.________________的两个数,我们说其中一个是另一个的.
2.表示求的_____________,表示______________.
学生活动:空中内容由学生填出.
【教法说明】通过问题形式归纳出本节的重点.
(四)回顾反馈
1.-1.6是__________的,
____________的是0.3.
2.下列几对数中互为的一对为( ).
A.和B.与C.与
3.5的是________________;的是___________;的是________________.
4.若,则;若,则.
5.若是负数,则是___________数;若是负数,则是___________数.
学生活动:分组互相回答,互相讨论,3、4、5题每组出一个同学口答.
【教法说明】1,2题是对本节课的重点知识进行复习.3、4、5题是从不同角度考查学生对概念的理解情况,对学有余力的同学是一个提高.
八、随堂练习
1.填表
原数
0
3
-7
倒数
-1
2.选择题
(1)下列说法中,正确的是()
A.一个数的一定是负数
B.两个符号不同的数一定是
C.等于本身的数只有零
D.的是-2
(2)下列各组九中,是互为的组数有()
①和②-(-1)和+(-1)
③-(-2)和+(+2) ④和
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
(3)下列语句中叙述正确的是()
A.是正数
B.如果,那么
C.如果,那么
D.如果是负数,那么是正数
九、布置作业
(一)必做题:课本第61页A组2、3.
(二)选做题:课本第62页B组1、2.
十、板书设计
2.3
1.只有符号不同的两个数其中一个是另一个的.
2.0的是0
3.的是. 例,……
随堂练习答案
1.略 2.C B D
作业 答案
(一)必做题:
1.(1)1.6,0.2,(2),3
2.16,-20,50,8.07,
(二)选作题:
1.(1)6,(2)9
2.(1);(2).
5),-(-7),-0的结果,让学生自己尝试得出结果,突破难点.
(二)
教学目标
1.使学生理解的意义;
2.使学生掌握求一个已知数的;
3.培养学生的观察、归纳与概括的能力.
教学重点和难点
重点:理解的意义,理解的代数定义与几何定义的一致性.
难点:多重符号的化简.
课堂教学过程 设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
二、师生共同研究的定义
特点?
引导学生回答:符号不同,一正一负;数字相同.
像这样,只有符号不同的两个数,我们说它们互为,如+5与
应点有什么特点?
引导学生回答:分别在原点的两侧;到原点的距离相等.
这样我们也可以说,在数轴上的原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的数互为.这个概念很重要,它帮助我们直观地看出的意义,所以有的书上又称它为的几何意义.
3.0的是0.
这是因为0既不是正数,也不是负数,它到原点的距离就是0.这是等于它本身的的数.
三、运用举例 变式练习
例1 (1)分别写出9与-7的;
例1由学生完成.
在学习有理数时我们就指出字母可以表示一切有理数,那么数a的如何表示?
引导学生观察例1,自己得出结论:
数a的是-a,即在一个数前面加上一个负号即是它的.
1.当a=7时,-a=-7,7的是-7;
2.当-5时,-a=-(-5),读作“-5的”,-5的是5,因此,-(-5)=5.
3.当a=0时,-a=-0,0的是0,因此,-0=0.
么意思?引导学生回答:-(-8)表示-8的;-(+4)表示+4的;
例2 简化-(+3),-(-4),+(-6),+(+5)的符号.
能自己总结出简化符号的规律吗?
括号外的符号与括号内的符号同号,则简化符号后的数是正数;括号内、外的符号是异号,则简化符号后的数是负数.
课堂练习
1.填空:
(1)+1.3的是______; (2)-3的是______;
(5)-(+4)是______的; (6)-(-7)是______的.
2.简化下列各数的符号:
-(+8),+(-9),-(-6),-(+7),+(+5).
3.下列两对数中,哪些是相等的数?哪对互为?
-(-8)与+(-8);-(+8)与+(-8).
四、小结
指导学生阅读教材,并总结本节课学习的主要内容:一是理解的定义——代数定义与几何定义;二是求a的;三是简化多重符号的问题.
五、作业
1.分别写出下列各数的:
2.在数轴上标出2,-4.5,0各数与它们的.
3.填空:
(1)-1.6是______的,______的是-0.2.
4.化简下列各数:
5.填空:
(1)如果a=-13,那么-a=______;(2)如果a=-5.4,那么-a=______;
(3)如果-x=-6,那么x=______; (4)如果-x=9,那么x=______.
课堂教学设计说明
教学过程 是以《教学大纲》中“重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养”,“数学教学中,发展思维能力是培养能力的核心”,“坚持启发式,反对注入式”等规定的精神,结合教材特点,以及学生的学习基础和学习特征而设计的.由于内容较为简单,经过教师适当引导,便可使学生充分参与认知过程.由于“新”知识与有关的“旧”知识的联系较为直接,在教学中则着力引导观察、归纳和概括的过程.
探究活动
有理数a、b在数轴上的位置如图:
将a,-a,b,-b,1,-1用“<”号排列出来.
分析:由图看出,a>1,-1<b<0,|b|<1<|a|.-a,-b分别是a和b的,数轴上表示a和-a,b和-b的点都关于原点对称,它们到原点的距离分别相等,用这个性质在数轴上画出表示-a,-b的点,它们的大小也就排列出来了.
解:在数轴上画出表示-a、-b的点:
由图看出:-a<-1<b<-b<1<a.
点评:通过数轴,运用数形结合的方法排列三个以上数的大小顺序,经常是解这一类问题的最快捷,准确的方法.
教学目标
1.理解有理数乘法的意义,掌握有理数乘法法则中的符号法则和绝对值运算法则,并初步理解有理数乘法法则的合理性;
2.能根据有理数乘法法则熟练地进行有理数乘法运算,使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则;
3.三个或三个以上不等于0的有理数相乘时,能正确应用乘法交换律、结合律、分配律简化运算过程;
4.通过有理数乘法法则及运算律在乘法运算中的运用,培养学生的运算能力;
5.本节课通过行程问题说明法则的合理性,让学生感知到数学知识来源于生活,并应用于生活。
教学建议
(一)重点、难点分析
本节的教学重点是能够熟练进行运算。依据法则和运算律灵活进行有理数乘法运算是进一步学习除法运算和乘方运算的基础。运算和加法运算一样,都包括符号判定与绝对值运算两个步骤。因数不包含0的乘法运算中积的符号取决于因数中所含负号的个数。当负号的个数为奇数时,积的符号为负号;当负号的个数为偶数时,积的符号为正数。积的绝对值是各个因数的绝对值的积。运用乘法交换律恰当的结合因数可以简化运算过程。
本节的难点是对法则的理解。法则中的“同号得正,异号得负”只是针对两个因数相乘的情况而言的。乘法法则给出了判定积的符号和积的绝对值的方法。即两个因数符号相同,积的符号是正号;两个因数符号不同,积的符号是负号。积的绝对值是这两个因数的绝对值的积。
(二)知识结构
(三)教法建议
1.有理数乘法法则,实际上是一种规定。行程问题是为了了解这种规定的合理性。
2.两数相乘时,确定符号的依据是“同号得正,异号得负”.绝对值相乘也就是小学学过的算术乘法.
3.基础较差的同学,要注意乘法求积的符号法则与加法求和的符号法则的区别。
4.几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之,如果积为0,那么,至少有一个因数为0.
5.小学学过的乘法交换律、结合律、分配律对有理数乘法仍适用,需注意的是这里的字母a、b、c既可以是正有理数、0,也可以是负有理数。
6.如果因数是带分数,一般要将它化为假分数,以便于约分。
教学设计示例
(第一课时)
教学目标
1.使学生在了解意义基础上,理解有理数乘法法则,并初步理解有理数乘法法则的合理性;
2.通过运算,培养学生的运算能力;
3.通过教材给出的行程问题,认识数学来源于实践并反作用于实践。
教学重点和难点
重点:依据法则,熟练进行运算;
难点:有理数乘法法则的理解.
课堂教学过程 设计
一、从学生原有认知结构提出问题
1.计算(-2)+(-2)+(-2).
2.有理数包括哪些数?小学学习四则运算是在有理数的什么范围中进行的?(非负数)
3.有理数加减运算中,关键问题是什么?和小学运算中最主要的不同点是什么?(符号问题)
4.根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减,运算的关键是确定符号问题,你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么?(负数问题,符号的确定)
二、师生共同研究有理数乘法法则
问题1 水库的水位每小时上升3厘米,2小时上升了多少厘米?
解:3×2=6(厘米) ①
答:上升了6厘米.
问题2 水库的水位平均每小时下降3厘米,2小时上升多少厘米?
解:-3×2=-6(厘米) ②
答:上升-6厘米(即下降6厘米).
引导学生比较①,②得出:
把一个因数换成它的相反数,所得的积是原来的积的相反数.
这是一条很重要的结论,应用此结论,3×(-2)=?(-3)×(-2)=?(学生答)
把3×(-2)和①式对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积应是原来的积“6”的相反数“-6”,即3×(-2)=-6.
把(-3)×(-2)和②式对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积应是原来的积“-6”的相反数“6”,即(-3)×(-2)=6.
此外,(-3)×0=0.
综合上面各种情况,引导学生自己归纳出有理数乘法的法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
任何数同0相乘,都得0.
继而教师强调指出:
“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学学习的乘法,有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”.
用有理数乘法法则与小学学习的乘法相比,由于介入了负数,使乘法较小学当然复杂多了,但并不难,关键仍然是乘法的符号法则:“同号得正,异号得负”,符号一旦确定,就归结为小学的乘法了.
因此,在进行有理数乘法时,需要时时强调:先定符号后定值.
三、运用举例,变式练习
例1 计算:
例2 某一物体温度每小时上升a度,现在温度是0度.
(1)t小时后温度是多少?
(2)当a,t分别是下列各数时的结果:
①a=3,t=2;②a=-3,t=2;
②a=3,t=-2;④a=-3,t=-2;
教师引导学生检验一下(2)中各结果是否合乎实际.
课堂练习
1.口答:
(1)6×(-9); (2)(-6)×(-9); (3)(-6)×9; (4)(-6)×1;
(5)(-6)×(-1); (6) 6×(-1); (7)(-6)×0; (8)0×(-6);
2.口答:
(1)1×(-5); (2)(-1)×(-5); (3)+(-5);
(4)-(-5); (5)1×a; (6)(-1)×a.
这一组题做完后让学生自己总结:一个数乘以1都等于它本身;一个数乘以-1都等于它的相反数.+(-5)可以看成是1×(-5),-(-5)可以看成是(-1)×(-5).同时教师强调指出,a可以是正数,也可以是负数或0;-a未必是负数,也可以是正数或0.
3.当a,b是下列各数值时,填写空格中计算的积与和:
4.填空:
(1)1×(-6)=______;(2)1+(-6)=_______;
(3)(-1)×6=________;(4)(-1)+6=______;
(5)(-1)×(-6)=______;(6)(-1)+(-6)=_____;
(9)|-7|×|-3|=_______;(10)(-7)×(-3)=______.
5.判断下列方程的解是正数还是负数或0:
(1)4x=-16; (2)-3x=18; (3)-9x=-36; (4)-5x=0.
四、小结
今天主要学习了有理数乘法法则,大家要牢记,两个负数相乘得正数,简单地说:“负负得正”.
五、作业
1.计算:
(1)(-16)×15; (2)(-9)×(-14); (3)(-36)×(-1);
(4)100×(-0.001); (5)-4.8×(-1.25); (6)-4.5×(-0.32).
2.计算:
3.填空(用“>”或“<”号连接):
(1)如果 a<0,b<0,那么 ab ________0;
(2)如果 a<0,b<0,那么ab _______0;
(3)如果a>0时,那么a ____________2a;
(4)如果a<0时,那么a __________2a.
探究活动
问题: 桌上放7只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中的4只,能否经过若干次翻转,把它们翻成杯口全部朝下?
答案: “±1”将告诉你:不管你翻转多少次,总是无法使这7只杯口全部朝下.道理很简单,用“+1”表示杯口朝上,“-1”表示杯口朝下,问题就变成:“把7个+1每次改变其中4个的符号,若干次后能否都变成-1?”考虑这7个数的乘积,由于每次都改变4个数的符号,所以它们的乘积永远不变(为+1).而7个杯口全部朝下时,7个数的乘积等于-1,这是不可能的.
道理竟是如此简单,证明竟是如此巧妙,这要归功于“±1”语言.
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