高中高一数学教案：子集、全集、补集
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子集、全集、补集
教学目标：
（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；
（2）了解全集、空集的意义，
（3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；
（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；
（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；
（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．
教学重点：子集、补集的概念
教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
教学用具：幻灯机
教学过程设计
（一）导入新课
上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．
【提出问题】（投影打出）
已知 ， ， ，问：
1．哪些集合表示方法是列举法．
2．哪些集合表示方法是描述法．
3．将集M、集从集p用图示法表示．
4．分别说出各集合中的元素．
5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．
6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集p有何关系．
【找学生回答】
1．集合M和集合N；（口答）
2．集合p；（口答）
3．（笔练结合板演）
4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集p中元素有－1，1．（口答）
5． ， ， ， ， ， ， ， （笔练结合板演）
6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集p的元素．（口答）
【引入】在上面见到的集M与集N；集M与集p通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．
（二）新授知识
1．子集
（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
记作： 读作：A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：A B或B A．
性质：① （任何一个集合是它本身的子集）
② （空集是任何集合的子集）
【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．
因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
例： ，可见，集合 ，是指A、B的所有元素完全相同．
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果 ，并且 ，我们就说集合A是集合B的真子集，记作： （或 ），读作A真包含于B或B真包含A。
【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．
【提问】
（1） 写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。
（2） 判断下列写法是否正确
① A ② A ③ ④A A
性质：
（1）空集是任何非空集合的真子集。若 A ，且A≠ ，则 A；
（2）如果 ， ，则 ．
例1 写出集合 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：集合 的所有的子集是 ， ， ， ，其中 ， ， 是 的真子集．
【注意】（1）子集与真子集符号的方向。
（2）易混符号
①“ ”与“ ”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如 R，{1} {1，2，3}
②{0}与 ：{0}是含有一个元素0的集合， 是不含任何元素的集合。
如： {0}。不能写成 ={0}， ∈{0}
例2 见教材p8（解略）
例3 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．
（1） 表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3） 不是 ；
（4） 的所有子集是 ；
（5）如果 且 ，那么B必是A的真子集；
（6） 与 不能同时成立．
解：（1） 不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；
（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；
（3）不正确． 与 表示同一集合；
（4）不正确． 的所有子集是 ；
（5）正确
（6）不正确．当 时， 与 能同时成立．
例4 用适当的符号（ ， ）填空：
（1） ； ； ；
（2） ； ；
（3） ；
（4）设 ， ， ，则A B C．
解：（1）0 0 ；
（2） ＝ ， ；
（3） ， ∴ ；
（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．
【练习】教材p9
用适当的符号（ ， ）填空：
（1） ； （5） ；
（2） ； （6） ；
（3） ； （7） ；
（4） ； （8） ．
解：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）＝；（6） ；（7） ；（8） ．
提问：见教材p9例子
（二） 全集与补集
1．补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作 ，即
．
A在S中的补集 可用右图中阴影部分表示．
性质： S（ SA）=A
如：（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则 SA={2，4，6}；
（2）若A={0}，则 NA=N*；
（3） RQ是无理数集。
2．全集：
如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用 表示．
注： 是对于给定的全集 而言的，当全集不同时，补集也会不同．
例如：若 ，当 时， ；当 时，则 ．
例5 设全集 ， ， ，判断 与 之间的关系．
解：∵
∴
∵
∴
∴
练习：见教材p10练习
1．填空：
， ， ，那么 ， ．
解： ，
2．填空：
（1）如果全集 ，那么N的补集 ；
（2）如果全集， ，那么 的补集 （ ）= ．
解：（1） ；（2） ．
（三）小结：本节课学习了以下内容：
1．五个概念（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）
2．五条性质
（1）空集是任何集合的子集。Φ A
（2）空集是任何非空集合的真子集。Φ A （A≠Φ）
（3）任何一个集合是它本身的子集。
（4）如果 ， ，则 ．
（5） S（ SA）=A
3．两组易混符号：（1）“ ”与“ ”：（2）{0}与
（四）课后作业：见教材p10习题1.2
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高中高一数学教案：数列
教学目标
1.使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
(1)理解数列是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数确定的.
(2)了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第
项
与项数
的关系式，能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式.
(3)已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前几项.
2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.
3.通过由
求
的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯.
教学建议
(1)为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等.
(2)数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系.在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列.函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法.由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项(或几项)有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法.
(3)由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助.
(4)由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征(整式，分式，递增，递减，摆动等)，由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用
来调整等.如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系.
(5)对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前
项和的概念，用
表示
的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析
与
高中高一数学教案：立体几何
立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体：
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
高中高一数学教案范文：指数函数
教学目标
1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.
(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.
(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.
(3) 能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小,会利用指数函数的图象画出形如
的图象.
2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3.通过对指数函数的研究,让学生认识到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.使学生善于从现实生活中数学的发现问题,解决问题.
教学建议
教材分析
(1) 指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究.
(2) 本节的教学重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质.难点是对底数
在
和
时,函数值变化情况的区分.
(3)指数函数是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他函数的研究.
教法建议
(1)关于指数函数的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是
的样子,不能有一点差异,诸如
,
等都不是指数函数.
(2)对底数
的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容.如果有可能尽量让学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教师再给予补充或用具体例子加以说明,因为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.
关于指数函数图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.
高中高一数学教案范文：三角恒等变形复习
【学习导航】
(一)两角和与差公式
(二)倍角公式
2cos2α=1+cos2α 2sin2α=1-cos2α
注意：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。
注： (1)两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。
(2)对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”;
(3)掌握“角的演变”规律，
(4)将公式和其它知识衔接起来使用。
重点难点
重点：几组三角恒等式的应用
难点：灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【精典范例】
例1 已知
求证：
例2 已知 求 的取值范围
分析 难以直接用 的式子来表达，因此设 ，并找出 应满足的等式，从而求出 的取值范围.
例3 求函数 的值域.
例4 已知
且 、 、 均为钝角，求角 的值.
分析 仅由 ，不能确定角 的值，还必须找出角 的范围，才能判断 的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若 使 的角为 或 若 则 或
【选修延伸】
例5 已知
求 的值.
例6 已知 ，
求 的值.
例7 已知
求 的值.
例8 求值：(1) (2)
【追踪训练】
1. 等于 ( )
A. B. C. D.
2.已知 ，且
，则 的值等于 ( )
A. B. C. D.
3.求值： = .
4.求证：(1)
高中高一数学教案：函数单调性与奇偶性
教学目标
1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.
(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.
(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.
3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.
教学建议
一、知识结构
(1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.
(2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.
二、重点难点分析
(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,掌握单调性的证明.
(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.
三、教法建议
(1)函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.
(2)函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.
函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以
的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值
开始,逐渐让
在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式
时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如
)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.
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