一、教材分析
(一)内容说明
函数是中学数学的重要内容,中学数学对函数的研究大致分成了三个阶段。
三角函数是代表性的一种基本初等函数。4.8节是第二章《函数》学习的延伸,也是第四章《三角函数》的核心内容,是在前面已经学习过正、余弦函数的图象、三角函数的有关概念和公式基础上进行的,其知识和方法将为后续内容的学习打下基础,有承上启下的作用。
本节课是数形结合思想方法的良好素材。数形结合是数学研究中的重要思想方法和解题方法。
数学家华罗庚先生的诗句:......数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休......可以说精辟地道出了数形结合的重要性。
本节通过对数形结合的进一步认识,可以改进学习方法,增强学习数学的自信心和兴趣。另外,三角函数的曲线性质也体现了数学的对称之美、和谐之美。
因此,本节课在教材中的知识作用和思想地位是相当重要的。
(二)课时安排
4.8节教材安排为4课时,我计划用5课时
(三)目标和重、难点
1.教学目标
教学目标的确定,考虑了以下几点:
(1)高一学生有一定的抽象思维能力,而形象思维在学习中占有不可替代的地位,所以本节要紧紧抓住数形结合方法进行探索;
(2)本班学生对数学科特别是函数内容的学习有畏难情绪,所以在内容上要降低深难度。
(3)学会方法比获得知识更重要,本节课着眼于新知识的探索过程与方法,巩固应用主要放在后面的三节课进行。
由此,我确定了以下三个层面的教学目标:
(1)知识层面:结合正弦曲线、余弦曲线,师生共同探索发现正(余)弦函数的性质,让学生学会正确表述正、余函数的单调性和对称性,理解体会周期函数性质的研究过程和数形结合的研究方法;
(2)能力层面:通过在教师引导下探索新知的过程,培养学生观察、分析、归纳的自学能力,为学生学习的可持续发展打下基础;
(3)情感层面:通过运用数形结合思想方法,让学生体会(数学)问题从抽象到形象的转化过程,体会数学之美,从而激发学习数学的信心和兴趣。
2. 重、难点
由以上教学目标可知,本节重点是师生共同探索,正、余函数的性质,在探索中体会数形结合思想方法。
难点是:函数周期定义、正弦函数的单调区间和对称性的理解。
为什么这样确定呢?
因为周期概念是学生第一次接触,理解上易错;单调区间从图上容易看出,但用一个区间形式表示出来,学生感到困难。
如何克服难点呢?
其一,抓住周期函数定义中的关键字眼,举反例说明;
其二,利用函数的周期性规律,抓住“横向距离”和“k∈Z"的含义,充分结合图象来理解单调性和对称性
二、教法分析
(一)教法说明 教法的确定基于如下考虑:
(1)心理学的研究表明:只有内化的东西才能充分外显,只有学生自己获取的知识,他才能灵活应用,所以要注重学生的自主探索。
(2)本节目的是让学生学会如何探索、理解正、余弦函数的性质。教师始终要注意的是引导学生探索,而不是自己探索、学生观看,所以教师要引导,而且只能引导不能代办,否则不但没有教给学习方法,而且会让学生产生依赖和倦怠。
(3)本节内容属于本源性知识,一般采用观察、实验、归纳、总结为主的方法,以培养学生自学能力。
所以,根据以人为本,以学定教的原则,我采取以问题为解决为中心、启发为主的教学方法,形成教师点拨引导、学生积极参与、师生共同探讨的课堂结构形式,营造一种民主和谐的课堂氛围。
(二) 教学手段说明:
为完成本节课的教学目标,突出重点、克服难点,我采取了以下三个教学手段:
(1)精心设计课堂提问,整个课堂以问题为线索,带着问题探索新知,因为没有问题就没有发现。
(2)为便于课堂操作和知识条理化,事先制作正弦函数、余弦函数性质表,让学生当堂完成表格的填写;
(3)为节省课堂时间,制作幻灯片演示正、余弦函数图象和性质,也可以使教学更生动形象和连贯。
三、学法和能力培养
我发现,许多学生的学习方法是:直接记住函数性质,在解题中套用结论,对结论的来源不理解,知其然不知其所以然,应用中不能变通和迁移。
本节的学习方法对后续内容的学习具有指导意义。为了培养学法,充分关注学生的可持续发展,教师要转换角色,站在初学者的位置上,和学生共同探索新知,共同体验数形结合的研究方法,体验周期函数的研究思路;帮助学生实现知识的意义建构,帮助学生发现和总结学习方法,使教师成为学生学习的高级合作伙伴。
教师要做到:
授之以渔,与之合作而渔,使学生享受渔之乐趣。 因此
1.本节要教给学生看图象、找规律、思考提问、交流协作、探索归纳的学习方法。
2.通过本课的探索过程,培养学生观察、分析、交流、合作、类比、归纳的学习能力及数形结合(看图说话)的意识和能力。
四、教学程序
指导思想是:两条线索、三大特点、四个环节
(一)导入
引出数形结合思想方法,强调其含义和重要性,告诉学生,本节课将利用数形结合方法来研究,会使学习变得轻松有趣。
采用这样的引入方法,目的是打消学生对函数学习的畏难情绪,引起学生注意,也激起学生好奇和兴趣。
(二)新知探索 主要环节,分为两个部分
教学过程如下:
第一部分————师生共同研究得出正弦函数的性质
1.定义域、值域 2.周期性
3.单调性 (重难点内容)
为了突出重点、克服难点,采用以下手段和方法:
(1)利用多媒体动态演示函数性质,充分体现数形结合的重要作用;
(2)以层层深入,环环相扣的课堂提问,启发学生思维,反馈课堂信息,使问题成为探索新知的线索和动力,随着问题的解决,学生的积极性将被调动起来。
(3)单调区间的探索过程是:
先在靠近原点的一个单调周期内找出正弦函数的一个增区间,由此表示出所有的增区间,体现从特殊到一般的知识认识过程。
** 教师结合图象帮助学生理解并强调 “距离”(“长度”)是周期的多少倍
为什么要这样强调呢?
因为这是对知识的一种意义建构,有助于以后理解记忆正弦型函数的相关性质。
4.对称性
设计意图:
(1)因为奇偶性是特殊的对称性,掌握了对称性,容易得出奇偶性,所以着重讲清对称性。体现了从一般到特殊的知识再现过程。
(2)从正弦函数的对称性看到了数学的对称之美、和谐之美,体现了数学的审美功能。
5.最值点和零值点
有了对称性的理解,容易得出此性质。
第二部分————学习任务转移给学生
设计意图:
(1)通过把学习任务转移给学生,激发学生的主体意识和成就动机,利于学生作自我评价;
(2)通过学生自主探索,给予学生解决问题的自主权,促进生生交流,利于教师作反馈评价;
(3)通过课堂教学结构的改革,提高课堂教学效率,最终使学生成为独立的学习者,这也符合建构主义的教学原则。
(三)巩固练习
补充和选作题体现了课堂要求的差异性。
(四)结课
五、板书说明 既要体现原则性又要考虑灵活性
1.板书要基本体现整堂课的内容与方法,体现课堂进程,能简明扼要反映知识结构及其相互联系;能指导教师的教学进程、引导学生探索知识;同时不完全按课本上的呈现方式来编排板书。即体现系统性、程序性、概括性、指导性、启发性、创造性的原则;(原则性)
2.使用幻灯片辅助板书,节省课堂时间,使课堂进程更加连贯。(灵活性)
六、效果及评价说明
(一)知识诊断
(二)评价说明
1.针对本班学生情况对课本进行了适当改编、细化,有利于难点克服和学生主体性的调动。
2. 根据课堂上师生的双边活动,作出适时调整、补充(反馈评价);根据学生课后作业、提问等情况,反复修改并指导下节课的设计(反复评价)。
3. 本节课充分体现了面向全体学生、以问题解决为中心、注重知识的建构过程与方法、重视学生思想与情感的设计理念,积极地探索和实践我校的科研课题——努力推进课堂教学结构改革。
通过这样的探索过程,相信学生能从中有所体会,对后续内容的学习和学生的可持续发展会有一定的帮助。希望很久以后留在学生记忆中的不是知识本身,而是方法与思想,是学习的习惯和热情,这正是我们教育工作者追求的结果
一、学习目标与自我评估
1 掌握利用单位圆的几何方法作函数 的图象
2 结合 的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性,及最小正周期
3 会用代数方法求 等函数的周期
4 理解周期性的几何意义
二、学习重点与难点
“周期函数的概念”, 周期的求解。
三、学法指导
1、 是周期函数是指对定义域中所有 都有
,即 应是恒等式。
2、周期函数一定会有周期,但不一定存在最小正周期。
四、学习活动与意义建构
五、重点与难点探究
例1、若钟摆的高度 与时间 之间的函数关系如图所示
(1)求该函数的周期;
(2)求 时钟摆的高度。
例2、求下列函数的周期。
(1) (2)
总结:(1)函数 (其中 均为常数,且
的周期T= 。
(2)函数 (其中 均为常数,且
的周期T= 。
例3、求证: 的周期为 。
例4、(1)研究 和 函数的图象,分析其周期性
(2)求证: 的周期为 (其中 均为常数,
且
总结:函数 (其中 均为常数,且
的周期T= 。
例5、(1)求 的周期。
(2)已知 满足 ,求证: 是周期函数
课后思考:能否利用单位圆作函数 的图象。
六、作业:
七、自主体验与运用
1、函数 的周期为 ( )
A、 B、 C、 D、
2、函数 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、函数 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、函数 的周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
5、设 是定义域为R,最小正周期为 的函数,
若 ,则 的值等于 ()
A、1 B、 C、0 D、
6、函数 的最小正周期是 ,则
7、已知函数 的最小正周期不大于2,则正整数
的最小值是
8、求函数 的最小正周期为T,且 ,则正整数
的值是
9、已知函数 是周期为6的奇函数,且 则
10、若函数 ,则
11、用周期的定义分析 的周期。
12、已知函数 ,如果使 的周期在 内,求
正整数 的值
13、一机械振动中,某质子离开平衡位置的位移 与时间 之间的
函数关系如图所示:
(1) 求该函数的周期;
(2) 求 时,该质点离开平衡位置的位移。
14、已知 是定义在R上的函数,且对任意 有
成立,
(1) 证明: 是周期函数;
(2) 若 求 的值。
一、学习目标与自我评估
1 掌握利用单位圆的几何方法作函数 的图象
2 结合 的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性,及最小正周期
3 会用代数方法求 等函数的周期
4 理解周期性的几何意义
二、学习重点与难点
“周期函数的概念”, 周期的求解。
三、学法指导
1、 是周期函数是指对定义域中所有 都有
,即 应是恒等式。
2、周期函数一定会有周期,但不一定存在最小正周期。
四、学习活动与意义建构
五、重点与难点探究
例1、若钟摆的高度 与时间 之间的函数关系如图所示
(1)求该函数的周期;
(2)求 时钟摆的高度。
例2、求下列函数的周期。
(1) (2)
总结:(1)函数 (其中 均为常数,且
的周期T= 。
(2)函数 (其中 均为常数,且
的周期T= 。
例3、求证: 的周期为 。
例4、(1)研究 和 函数的图象,分析其周期性。(2)求证: 的周期为 (其中 均为常数,
且
总结:函数 (其中 均为常数,且
的周期T= 。
例5、(1)求 的周期。
(2)已知 满足 ,求证: 是周期函数
课后思考:能否利用单位圆作函数 的图象。
六、作业:
七、自主体验与运用
1、函数 的周期为 ( )
A、 B、 C、 D、
2、函数 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、函数 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、函数 的周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
5、设 是定义域为R,最小正周期为 的函数,
若 ,则 的值等于 ()
A、1 B、 C、0 D、
6、函数 的最小正周期是 ,则
7、已知函数 的最小正周期不大于2,则正整数
的最小值是
8、求函数 的最小正周期为T,且 ,则正整数
的值是
9、已知函数 是周期为6的奇函数,且 则
10、若函数 ,则
11、用周期的定义分析 的周期。
12、已知函数 ,如果使 的周期在 内,求
正整数 的值
13、一机械振动中,某质子离开平衡位置的位移 与时间 之间的
函数关系如图所示:
(1) 求该函数的周期;
(2) 求 时,该质点离开平衡位置的位移。
14、已知 是定义在R上的函数,且对任意 有
成立,
(1) 证明: 是周期函数;
(2) 若 求 的值。
教学目标:
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明;引导学生发现数学规律,让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用,培养学生的创新意识.
教学重点:
二倍角公式的推导及简单应用.
教学难点:
理解倍角公式,用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
教学过程:
Ⅰ.课题导入
前一段时间,我们共同探讨了和角公式、差角公式,今天,我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道,和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.
先回忆和角公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
当α=β时,sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα
即:sin2α=2sinαcosα(S2α)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
当α=β时cos(α+β)=cos2α=cos2α-sin2α
即:cos2α=cos2α-sin2α(C2α)
tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ
当α=β时,tan2α=2tanα1-tan2α
Ⅱ.讲授新课
同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α+cos2α=1,公式C2α还可以变形为:cos2α=2cos2α-1或:cos2α=1-2sin2α
同学们是否也考虑到了呢?
另外运用这些公式要注意如下几点:
(1)公式S2α、C2α中,角α可以是任意角;但公式T2α只有当α≠π2 +kπ及α≠π4 +kπ2 (k∈Z)时才成立,否则不成立(因为当α=π2 +kπ,k∈Z时,tanα的值不存在;当α=π4 +kπ2 ,k∈Z时tan2α的值不存在).
当α=π2 +kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式:
即:tan2α=tan2(π2 +kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0
(2)在一般情况下,sin2α≠2sinα
例如:sinπ3 =32≠2sinπ6 =1;只有在一些特殊的情况下,才有可能成立[当且仅当α=kπ(k∈Z)时,sin2α=2sinα=0成立].
同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα
(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况,还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍,将α作为 α2 的2倍,将 α2 作为 α4 的2倍,将3α作为 3α2 的2倍等等.
一、知识与技能
1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式,了解它们的内在联系;揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.掌握公式及其推导过程,会用公式进行化简、求值和证明。
3.通过公式推导,掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系,培养逻辑推理能力。
二、过程与方法
1.让学生自己由倍角公式导出半角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;
2.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
三、情感、态度与价值观
1.通过公式的推导,了解半角公式和倍角公式之间的内在联系,从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
2.培养用联系的观点看问题的观点。
【教学重点与难点】:
重点:半角公式的推导与应用(求值、化简、证明)
难点:半角公式与倍角公式之间的内在联系,以及运用公式时正负号的选取。
【学法与教学用具】:
1. 学法:
(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学方法:观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
引导学生复习二倍角公式,按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式,课堂上在老师引导下,以学生为主体,分析公式的结构特征,会根据公式特点得出公式的应用,用公式来进行化简证明和求值,老师为学生创设问题情景,鼓励学生积极探究。
3. 教学用具:多媒体、实物投影仪.
【授课类型】:新授课
【课时安排】:1课时
【教学思路】:
一、创设情景,揭示课题
二、研探新知
四、巩固深化,反馈矫正
五、归纳整理,整体认识
1.巩固倍角公式,会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。
2.熟悉"倍角"与"二次"的关系(升角--降次,降角--升次).
3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:
4.半角公式左边是平方形式,只要知道角终边所在象限,就可以开平方;公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5.注意公式的结构,尤其是符号.
六、承上启下,留下悬念
七、板书设计(略)
八、课后记:略
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