《函数方程不等式》
广州市第一一三中学 廖娟年
一、教材内容的地位与作用:
函数与方程、不等式在初中中有重要地位,函数是初中数学教学的重点和难点之一。方程、不等式与函数综合题,历年来是中考热点之一,主要采用以函数为主线,将函数图象、性质和方程及不等式的相关知识进行综合运用,渗透数形结合的思想方法。
二、教学设计的整体构思
㈠ 教学目标
1.复习和巩固一次函数和二次函数的图象与性质等基础知识。
2.加强一次函数,一次方程和一元一次不等式三者的联系
3.加强二次函数,一元二次方程和一元二次不等式三者的联系
4.会结合自变量的取值范围求实际问题的最值
㈡ 教学重点
1、函数、方程和不等式三者的区别与联系。
2、运用函数、方程与不等式的关系及转化的思想方法解决函数与方程、不等式的综合问题。
㈢ 教学难点
对实际问题中二次函数的最值要结合自变量的取值范围及图像来解决,从而深化数形结合的思想方法。
㈣ 学情分析
教学班为中等层次的班,学生的学习基础比较均衡,学习积极性高,但是拔尖的学生不多。本节课在学生第一轮复习了函数、方程、不等式有关知识的基础上,进一步研究解决函数、方程、不等式之间的联系与区别及三者相结合的综合题。
㈤ 教学策略
以学生练习为主,讲练结合,通过环节二、环节三的练习及课件突出本节课的重点:加强了函数、方程和不等式三者的区别与联系,从而渗透数形结合和转化的思想。利用环节四让学生学会用函数和方程的思想来构建函数模型来解决实际问题,通过小组讨论,用集体的智慧突破本节课的难点:求实际问题的最值时,需对所得的函数结合自变量的取值范围及结合图像才能求得最值,从而让学生更深刻体会数形结合的数学思想。
三、教学反思:
㈠ 结构严谨,环环相扣,层现清晰
本节课用五个环节组织教学。环节一是知识的回顾,这部分复习了函数、方程、不等式的基础知识,引入部分简单过渡,激发兴趣,为后面作铺垫。环节二的问题1是有关一次函数,一次方程和一元一次不等式的联系与区别,环节三的问题2是二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的相互转化,这两个环节的两个问题是姐妹题,加强了学生对一次函数和二次图象的认识以及通过观察函数图象得出变量的范围,渗透数形结合的思想,同时由环节二的一次函数过渡到环节三的二次函数,由浅入深地把函数、方程、不等式三者联系起来。然后过渡到本节课的难点――环节四:二次函数的实际应用。环节四是实际问题的应用及其变式训练,这一环节的训练,旨在拓展深化,发展学生智能,让学生学会用函数与方程的思想来解决实际问题,通过对实际问题的分析,寻找出变量之间的函数关系,并能利用函数的图象和性质求出实际问题的答案。体会函数模型是解决实际问题的一种重要的数学模型,便于获得解决问题的经验。养成积极探索的学习态度,感受数学的应用价值,培养学数学用数学的观念,这也是本节课的知识点的拓展与提升。最后环节五的总结提高部分由学生讨论归纳,对整节课的内容进行回顾整理,让每一部分的内容重新清晰呈现。五个环节紧密联系,层层递进,环环相扣,清晰明了地突破重难点。
㈡ 教师为主导、学生为主体,把课堂还给学生
在教学的过程中,学生是教学的主体,所以发挥学生的主动性相当的重要。本节课是在学生第一轮复习了函数、方程、不等式有关知识的基础上教学的,是学生学习的又一次综合与扩展。如何引导学生进一步研究解决函数、方程、不等式之间的联系与区别及三者相结合的综合题,是我设计本堂课时应特别注意的。我设计的教学方法是讲练结合,学生练习用了20-22分钟,学生小组讨论3-4分钟,老师大概讲了12-15分钟,引导.提问个别学生分析问题及回答问题约8-10分钟,整节课以学生的练习为主,留充分的时间和空间给学生思考。教师精讲多练,且能讲在关键处,注重引导学生分析问题并解决问题,师生互动较多,教学方式灵活多样,充分调动了学生学习的积极性。整节课充分体现了新课标的教学理念:教师为主导、学生为主体,把课堂还给学生。
㈢ 及时小结,及时反馈
课堂教学是一个有序的教学过程,教材知识的内在逻辑顺序和学生认知结构发展的顺序决定了教学过程必须是一个循序渐进、环环相扣的过程。因此,对于每一环节的教学,我都能恰到好处进行点评、反馈及小结,总结该环节用到的知识点及其解决问题的方法与技巧,对教学目标中的思想内容、能力要求、知识要点进行简明扼要的梳理概括,这样既可概括前一个问题的主要内容,有助于学生理解、掌握,又能巧妙地引出后一个问题的讲解。起到承前启后的作用,使知识有机衔接起来,形成一个有序的整体,既可使整堂课的教学内容系统化,增强学生的整体印象,又可以促使学生的思维不断深化,诱发继续学习的积极性。
㈣ 课件精美,提高效率
本课节主要是以ppT载体,中间穿插了几何画板,直观、形象、动态地展现知识的形成过程,刺激学生的感官,启发学生思维。通过课件,充分体现了数形结合,突出了本节课的重点:方程或不等式的解实质就是函数值y取特殊值时对应自变量x的取值.从而使题目化难为简。另外对于一些重要地方用批注形式加以解释,引起学生的有意注意,让学生更容易理解、印象更深刻,大大提高了课堂教学的有效性。
㈤ 小组讨论,突破难点
本节课的最亮点是环节四问题3的变式练习“若把‘墙长20m’改为‘墙长15m’,情况又会如何?”的处理,我采用的方法是让学生通过小组讨论找出本题与问题3在解答上的异同,并要求学生把不同之处用另一颜色笔在问题3的求解过程的基础上改动,然后引导学生(个别提问)分析讲解,老师再用ppT演示加以点评。学生通过此变式训练能发现当二次函数顶点坐标的纵坐标不是最值时,需对所得的函数结合自变量的取值范围及结合图像才能求得最值,学生更深刻地体会了数形结合的数学思想。数学课堂上也显示出情感态度价值:用集体的智慧突破本节课的难点,学生有了成功的喜悦。
四、不足之处
环节三的巩固练习的反馈,我采用课件演示讲解。如果用实物投影来点评学生的答案,更深入一点讲解,教学效果会更好。
附教学过程设计
【环节一】:知识的回顾
1、抛物线y=-2(x-1)2+3的顶点坐标是____,当x=__时,y有最_值为____
2、(1) 与 轴的交点坐标为 ,与 轴的交点坐标为
(2)函数y=x2-x与 轴交点的坐标是: ,与 轴的交点坐标是: ;
3、抛物线y=x2-2x+3与 轴有______个交点。
设计意图:这部分的学习为后面作铺垫,目的是巩固基础知识
【环节二】一次函数,一次方程和一元一次不等式的联系
问题1、观察一次函数 的图象并根据图象回答:
(1)x取什么值时,函数值y=0 ?
(2)x取什么值时,函数值y=-3 ?
(3)x取什么值时,函数值-3y ?
设计意图:加强对一次函数图象的认识以及通过函数图象得出变量的范围,渗透数形结合的思想。希望学生通过观察一次函数的图象得出变量的范围,可能会有个别学生通过解不等式求变量的范围,如果这样的话更好,老师可以让学生对照和评价两种方法的优劣。同时希望通过这一环节由浅入深地把函数,方程和不等式三者联系起来。
【环节三】二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系
问题2、(07贵阳改编)二次函数 的图象
如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程 的两个根.
(2)写出不等式 的解集.
(3)写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围.
(4)写出方程 的实数根:
(5)若方程 有两个不相等的实数根,写出
的取值范围.
小结:函数与方程、函数与不等式紧密联系,方程、不等式的解(解集)实质就是函数值y取特殊值时对应的自变量x的取值,其中第(4)、(5)小题还要有转化的思想。
设计意图:本题是问题1的姐妹题,沟通了二次函数,一元二次方程和一元二次不等式三者的联系,设计目的是加强对二次函数图象的认识以及通过观察函数图象得出变量的范围,再次体会数形结合和转化的数学思想。
巩固练习:
1.(07宁波)如图,是一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图像,则关于x的方程kx+b= 的解为( )
(A)xl=1,x2=2 (B)xl=-2,x2=-1 (C)xl=1,x2=-2 (D)xl=2,x2=-1
2.(2007江西省)已知二次函数 的部分图象如图所示,则关于 的一元二次方程 的解为 .
3、已知二次函数 ( ≠0)与一次函数 ( ≠0)的图像交于点A(-2,4),B(8,2),如图所示,则能使 成立的 的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、 或
【环节四】用函数和方程的思想解决实际问题
问题3、学校要在一块一边靠墙(墙长20m)的空地上修建一个矩形花园 ,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围成(如图所示).若设花园的 (m),花园的面积为 (m ).
(1)求 与 之间的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;
(2)满足条件的花园面积能达到200 m 吗?若能,求出此时 的值;若不能,说明理由;
(3)当 取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少?
小结:不能利用待定系数确定函数解析式时,常常可以通过列方程的思想来解决实际问题。此题复合了一次函数、二次函数,并对所得的函数结合自变量的取值范围来考虑最值。
设计意图:本题是本节课知识的拓展,设计的目的是希望学生学会用函数和方程的思想去解决实际问题,第二小题体现的是把二次函数转化求一元二次方程的根来解决,第三小题让学生回顾求二次函数的最值的两种方法:把二次函数的一般式通过配方化成顶点式或直接用顶点公式法求得最值,但都要讨论自变量是否在其取值范围内。
变式练习:若把“墙长20m”改为“墙长15m”,情况又会如何?
小结:当二次函数顶点坐标的纵坐标不是最值时,需对所得的函数结合自变量的取值范围并结合图像才能求得最值。
设计意图:通过小组讨论找出本题与问题3在解答上的异同,并要求学生把不同之处用另一颜色笔在问题3的求解过程的基出上改动,老师再通过ppT演示点评。希望学生通过此变式训练能发现当二次函数顶点坐标的纵坐标不是最值时,需对所得的函数结合自变量的取值范围及结合图像才能求得最值,从而让学生更深刻体会数形结合的数学思想。
【环节五】总结提高
1、理解函数与方程,不等式之间的关系;
2、求实际问题的最值时要注意结合自变量的取值范围及结合图象来考虑。
【环节六】能力的提升
已知:抛物线y=x2-mx+m-2
(1)求证:此抛物线与x轴有两个不同的交点;
(2)若此抛物线与x轴的两个交点都在 轴的正半轴上,求 的取值范围
【环节七】复习与巩固(课后作业)
1、(08湖北咸宁)抛物线 与 轴只有一个公共点,则 的值为 .
2、(2008湖北省咸宁)直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于 的不等式 的解集为 .
3.已知关于 的一次函数y=(m-1)x .当m取何值时,y随x的增大而减小?
4.已知二次函数 ,当m取何值时, 当 时,y随x的增大而增大?
5、a,b是方程x2-2x-3=0的两个实数根(ab),则直线y=ax+b不经过第______象限.
6、 满足什么条件时,直线y=x+k-1与y=-2x-5k+8交于第二象限?
7、函数y=x2+2(a+2)x+a2的图象与x轴有两个交点,且都在x轴的负半轴上,则a的取值范围是_____ _。
8、已知抛物线 与 轴交于两点A( ,0),B( ,0),且 ,
则 = 。
9.下图所示是喷灌设备图,水管AB高出地面1.5 米,B处是自转的喷水头,喷出水流成抛物线状,点B与水流最高点C的连线与水平地面成450角,BC= 米。
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式?
(2)求水流落地点D到原点O的距离?(精确到0.1米)
10.二次函数 的图象如图所示,若 , ,则( )
(A) (B)
(C) (D)
分数的基本性质(一)
分数的基本性质是在学生已掌握了商不变的性质之后,并在分数的意义基础上进行学习的,通过观察,合作探究总结出分数的基本性质,为以后学习约分和通分打基础,在教学中我注重“过程与结果的结合”,“合作学习与自主学习”的结合,“创设情境与创新精神”的结合,巧妙地创设问题情境,让学生产生迫不及待地要求获取新知识的情感,再通过拓展外延,从具体事例中抽象出事物的内在规律,这一环节重点在掌握了学生的认识规律基础上,强调知识的来源,让学生自己挖掘规律,掌握数学知识产生的内在规律,激发起学生积极思维的动机。通过小组的合作以及教师的引导,发现规律,总结规律,促进了学生相互帮助,相互启迪,相互促进,发挥了讨论交流的作用,提高了学生学习的能力。通过有目的的基本练习、巩固练习、综合练习,学生进一步加深了对新知的强化了学生运用新知解决实际问题的能力,使学生形成了一定的技能技巧。
教学一开始,我以唐僧给三个徒弟分饼而引出谁分得多与少,激发学生的学习兴趣,让他们以最大的热情投入到解决生成单上的问题。由于时间有限,我先让学生独立完成生成单,生成单的第一个问题比较简单,是在以前学习的基础上而设置的。通过预习对于第五个问题大部分学生都能总结出来。而中间三个问题是本节课的重点。在学生独立做后我让学生分成大的小组去探讨、去交流生成单的重点三个问题。最后学生在讨论、交流和展示的时候教师在中间加以重点强调,来凸显本节课的教学难点。从而以学生的主体行为实践了整个学习活动。从师生交流活动中体现了对分数的基本性质的在认识,学生的“知识技能”、“过程与方法”、以及“情感态度与价值观”全面获得了大丰收。通过教学过程可以看出,本节课所设计的三单比较全面能突破教学重难点,具有阶梯性,教学过程及环节符合一案三单的教学,尤其是让学生成为课堂的主人,成为学习的主人,体现出新形势下的教育理念。还有,课堂中对小组评价及个人评价形式新颖,能激发学生学习的欲望,充分保证小组学习的积极、高效和彰显学生的个性.
当然,还存在一些不足。比如,课题太笼统,没有体现出本节课的教学重点。在教学过程中,在重难点的处理上没有对学生重点强调。从这一点上不难看出,在备课的过程中没有吃透教材。还有,数学强调的是学练结合,在本节课对学生没有进行练习。当然,以上的不足我会在以后的实验中努力改进,我相信有同志的帮助,和领导的支持,我的教学会更加出色。
分数的基本性质教学反思(二)
本节课,我根据分数基本性质的规律性,认为在这节课学生发现探索规律的过程比知识本身更重要,更有利于学生能力和方法的培养;而且,学生通过探究获得的知识是学生主动建构起来的,是学生自己经历的、真正属于他自己的知识,把学习的主动权交给学生,为学生提供充分的学生空间,让学生通过自主探索、合作交流完成学习任务。这远比做大量习题理解得更深刻,更有利于学生的发展。()因此更侧重于对过程性目标的落实。其次,练习设计形式多样,有梯度。并且采用学生喜欢的游戏环节,既激发了学生学习的积极性,又利用不同层次的练习及时巩固新的知识,完善知识,提升对知识的理解,提高学生应用新知识解决问题的能力。让不同程度的学生都得到训练,以灵活、开放的练习拓展学生的思维。
课堂上还存在不足:由于课堂上侧重了学生探究的过程,另外,在引导学生完整汇报所发现的规律上,花了较多的时间,因此,造成还有一关扩展的习题不能进行。还有,在进行分数的基本性质与商不变的规律的沟通联系时,只是对照两句性质进行,没有举出具体的例子。如果能有把这两个规律之间的转化采用举例、填空的形式,能给学生以直观的体验。胜过用语言的描述。在最后动脑筋出教室环节,场面有点乱。应该让学生分开进行就好了。
分数的基本性质教学反思(三)
《分数的基本性质》在分数教学中占有重要的地位,它是约分,通分的依据,对于以后学习比的基本性质也有很大的帮助,所以,分数的基本性质是本单元的教学重点之一。我在设计这节课时,大胆利用“猜想和验证”方法,留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间,让学生得到不仅是数学知识,更主要的是数学学习的方法,从而激励学生进一步地主动学习,产生我会学的成就感。对这部分内容我是这样设计教学的:
一、成功之处:
1. 学习分数的基本性质我利用了商不变的性质进行正迁移,所以我在开课伊始板书: " 分数与除法”有什么关系 ? “根据除法和分数的关系,将这个除法算式写成分数形式,“根据商不变的性质我们可以把一个除法算式变成很多除法算式,那一个分数能不能也变出很多分数呢?”帮助学生意识到商不变规律与新知识的学习具有定的联系,为新知识的学习奠定基础。
2.在本课的学习中,为充分体现学生的主体地位,使之经历学习探究的全过程。我创设了小组合作学习提示,让学生首先猜测分数是否也有与除法同样的性质。接着充分利用直观手段,设计了折纸涂色的操作活动,通过让学生动手操作来发现三个分数之间的相等关系,接着引导学生一起探索这三个分数之间存在的规律,从而把具体的知识条理化,使学生获得具体真切的感受,帮助学生在活动中感悟分数大小相等的算理。归纳得出分数的基本性质,让学生参与学习的全过程,在掌握所学知识的同时获得成功的体验。当总结出规律后找出规律中的关键词“同时”、“相同的数”,再提出为什么这里的相同的数不能为零,并通过商不变性质的性质、分数与除法的关系,使学生全面理解掌握分数的基本性质。在教学中我还注意关注学生的多种思维方式,鼓励学生用自己的语言叙述解决问题的过程,体现了对学生观察能力、动手操作能力、逻辑思维能力和抽象概括能力的培养。
二、不足之处:
1.随着知识点的深入,很多孩子开始呈现课堂吃力现象,小组合作中体现不出自己的认识或者想法,只有听得份,困惑是怎样解决他们的困难,让他们紧跟我们学习的步伐。
2.今后小组合作提示要照顾差生的提高,创造学习数学的兴趣和耐心。
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